Уважаемая RMR_astra, слово телескоп у меня тесно связано с именем Сергей Дроздов. Сергей был по-настоящему влюблен в астрономию. На одной из лекций по космосу учитель из Вешкаймы рассказал, что у него в классе есть ученик, который из кастрюли сделал телескоп и каждую ночь смотрит через это приспособление в небо. Запрещают родители, учителя, потому что на уроках он просто засыпает, но с его упорством справиться не могут.

Где-то на нашем сайте есть комментарий Сергея под сообщением о создании нового телескопа, в котором он написал, что, наверное, умер бы от голода рядом, его бы не смогли оторвать от такого телескопа.

Сергей Дроздов стал профессиональным астрономом, из сельской школы поступил и уже окончил Государственный астрономический институт им. П.К.Штернберга (ГАИШ). 

Серёжа, мы помним о тебе, ты и нас воодушевил своей мечтой.

 Так почему Луна вращается вокруг Земли, если сила притяжения её Солнцем в 2,0-2,5 раза больше силы притяжения Луны к Земле?

  У многих (и даже весьма продвинутых "специалистов") этот вопрос заканчивается ответом, что, видимо, Закон притяжения Ньютона не работает, поэтому ответим на этот вопрос  подробно с разбором типичных ошибок  в трёх пунктах в полном соответствии с законами механики Ньютона.

    Во-первых, если в вопросе сравнивается  влияние силы гравитационного притяжения между Луной и Солнцем с силой притяжения между Луной и Землёй, то  следует быть последовательным до конца и обязательно учитывать силу притяжения Солнцем не только  Луны, но и Земли.

    Во-вторых,  РАССМАТРИВАТЬ ВЛИЯНИЕ на относительное движение двух тел в общей постановке с учётом третьего тела (Солнца) ТОЛЬКО ВЕЛИЧИН СИЛ (или ИХ ОТНОШЕНИЙ)   БЕЗ  ПЕРЕСЧЁТА ЭТИХ СИЛ В УСКОРЕНИЯ для каждого из рассматриваемых двух тел, обладающих к тому же  разными массами, с позиций законов механики просто НЕГРАМОТНО, хотя именно в данной конкретной  формулировке рассмотрения сил, приложенных только к одному и тому же телу (Луне) допустимо.

    Из второго закона следует, что для РАСЧЁТА ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА НЕОБХОДИМА только  ВЕЛИЧИНА ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ТЕЛА, вызываемого воздействием на тело РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕЙ ВСЕХ СИЛ и  отнесённой (для пересчёта в ускорение) к МАССЕ тела.

    Типичный пример из космоса:  массы у взаимно притягивающихся тел, как правило, РАЗНЫЕ, а силы притяжения  друг к другу ОДИНАКОВЫЕ (см. чуть ниже Закон всемирного тяготения – он ведь одинаков для притягивающихся друг к другу тел: сила взаимного притяжения пропорциональна произведению масс взаимно притягивающихся тел), поэтому, например,  ускорение сближения  Луны в сторону Земли как более лёгкого тела будет в 81 раз больше ускорения сближения Земли с Луной только потому, что масса Земли во столько же раз больше массы Луны. Показательный пример влияния инерционности тел (их массы) на ускорения тел.

  В ИГНОРИРОВАНИИ второго ЗАКОНА МЕХАНИКИ   И  КРОЕТСЯ ОСНОВНАЯ  ОШИБКА в постановке данного вопроса о Луне.  Для анализа движения тел ВАЖНЫ НЕ ВЕЛИЧИНЫ СИЛ или  ИХ ОТНОШЕНИЙ  ДРУГ К  ДРУГУ,  а  УСКОРЕНИЯ,  вызываемые воздействием эти сил и определяемые с учётом влияния свойства инертности тел (их массы).

  Далее обратимся к закону всемирного тяготения Ньютона и  проанализируем , вытекающую из этого закона, формулу для гравитационного ускорения  тел, притягиваемых Солнцем:

      Fs = G · m · Ms / R²   =  (G · Ms / R²) · m    =    gs · m; (1)       где:   gs = G · Ms  / R²; (2)

где: Fs[Н] - сила притяжения Солнцем тела  массой m[кг] ,  

        G – гравитационная постоянная  (G = (6,6726±0,0005)·10^-11  H · м²· кг^-2. )  

        Ms[кг] - масса Солнца, R[м] - расстояние от центра масс тела до центра  масс Солнца, 

   gs[м/сек²] -  гравитационное центростремительное ускорение, приложенное к центру масс притягиваемого тела (массой m), находящегося на  расстоянии R от центра масс Солнца.

 Из выражения (2) следует, что ВЕЛИЧИНА  ГРАВИТАЦИОННОГО  УСКОРЕНИЯ  от притяжения Солнцем  (gs)  ЗАВИСИТ  ТОЛЬКО  ОТ  РАССТОЯНИЯ  до его центра масс (в обратной квадратической зависимости от расстояния) и  НЕ  ЗАВИСИТ ОТ ВЕЛИЧИНЫ МАССЫ ПРИТЯГИВАЕМОГО ТЕЛА!  ВСЕ ТЕЛА на одном и том же  расстоянии от Солнца УСКОРЯЮТСЯ  К  СОЛНЦУ С ОДИНАКОВЫМ  ГРАВИТАЦИОННЫМ  УСКОРЕНИЕМ (от пера и молотка до Луны и Земли).

   Благодаря этому уникальному свойству  СИЛУ  гравитационного  ПРИТЯЖЕНИЯ  И  СИЛЫ  ИНЕРЦИИ  физики выделяют особо и называют  их МАССОВЫМИ  СИЛАМИ  (в отличие от всех остальных физических (ВНЕШНИХ по отношению к телу) сил, например, силы тяги реактивного двигателя или силы сопротивления воздуха), т.е. силами действующими одинаково на каждую единицу массы  внутри  любого тела, а полная (суммарная) сила (от воздействия единичных массовых сил на тело), естественно,  пропорциональна ВЕЛИЧИНЕ МАССЫ  ТЕЛА m и определяется как произведение массы тела,   либо на гравитационное ускорение тела: Fs = gs · m (сила притяжения),      либо на линейное ускорение  Fi = а · m (сила инерции).  Кстати, масса, учитываемая  в формуле для силы притяжения называется ГРАВИТАЦИОННОЙ, а для сил инерции - ИНЕРЦИОННОЙ. У физиков были подозрения об их возможном различии, но на сегодняшний день они считаются практически СОВПАДАЮЩИМИ по величине., т.е. механизм воздействия сил гравитации и сил инерции осуществляется через одну и ту же массу тела. 

   Рассчитаем величину гравитационного ускорения от притяжения Солнцем на расстоянии радиуса  орбиты Земли (орбита Земли близка к круговой): 

        g солнце-земля =  G · Ms / (Rs-земля)² =  6.67·10^-11 · 1.99·10³⁰ /(1.49·10¹¹)²  = 5.98·10^-3 [м/сек²].

   Как видим,  ускорение свободного падения Земли на Солнце невелико (~0,006 [м/сек²])из-за очень большого расстояния до Солнца (149,6 млн.км).

    Что же мы видим (для многих это станет большой новостью): с одной стороны, с точки зрения закона всемирного притяжения,  практическое  РАВЕНСТВО ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫХ УСКОРЕНИЙ ДЛЯ ЛУНЫ И ЗЕМЛИ под воздействием СИЛ притяжения Солнцем  из-за практически одинакового расстояния до Солнца,  а, с другой стороны,   СИЛЫ  притяжения Луны и Земли к Солнцу, отнесённые к равным по величине  силам взаимного притяжения Луны и Земли, составляют  2-2,5 раза (для Луны) и 178 раз (для Земли),  что вызвано различием в ~ 81 раз их масс.   

   Как говорится, почувствуйте  РАЗНИЦУ В РЕАЛЬНОМ ВЛИЯНИИ ПРИТЯЖЕНИЯ Солнцем, выраженную в  УСКОРЕНИЯХ для Луны и Земли (ОНИ ОДИНАКОВЫЕ)   и  в ВЕЛИЧИНАХ (относительных) тех же самых  СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ к Солнцу, сообщивших эти одинаковые ускорения (САМИ СИЛЫ СУЩЕСТВЕННО РАЗНЫЕ из-за различия их масс!:  2-2,5  и  178)  Хотя кто-то решит, что в "попугаях" (отношениях сил) он подлиннее будет. Да разве из  РАССМОТРЕНИЯ  СИЛ  для Луны и Земли можно увидеть хоть какой-нибудь намёк на то, что они одновременно падают  практически С ОДНИМ  И  ТЕМ ЖЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ центростремительным УСКОРЕНИЕМ к Солнцу?

   Поскольку Луна изменяет своё расстояние до Солнца относительно орбиты Земли максимум на  ~ 405 700км, то это приводит к изменению относительно среднего солнечного гравитационного ускорения для Луны  (5,98 ·10^-3 )  на  +- 0.03[м/сек²], что составляет не более, чем  +- 0.5% в моменты нахождения Луны в областях, близких к прямой линии Солнце-Земля, т.е. в моменты новолуния или полнолуния. Поэтому  с достаточной для практики точностью, можно считать гравитационное поле Солнца  практически  ОДНОРОДНЫМ (постоянным) вдоль траектории Земли и в пределах области, «ометаемой» радиусом-вектором Луны в относительном вращении вокруг Земли.

   В третьих,  однородность (постоянство) центростремительного ускорения означает, что ВСЕ тела, вращающиеся вокруг Земли (предлагаю назвать  их  «Земной группой тел», включая Луну и орбитальные спутники Земли или Луны), вместе со своим местным основным «гравитатором» (Землёй) свободно падают на Солнце  с практически одним и тем же центростремительным гравитационным ускорением.

    Примечание:   слово «гравитатор», удобное для рассуждений, присваиваем САМОМУ массивному телу из некоторой совокупности тел составляющих гравитационную группу, УДЕРЖИВАЕМУЮ этим «гравитатором» на орбитах вокруг себя на его гравитационном "поводке". Именем «гравитатора» и называется группа рассматриваемых тел, вращающихся вокруг него. Например, Солнечная система («гравитатор» - Солнце,  которое удерживает все планеты с их спутниками и прочие тела Солнечной системы),  Земная группа тел («гравитатор» - Земля, удерживающая  Луну и все их спутники).

        Возникает вполне очевидная идея мысленно ВЫЧЕСТЬ ПОСТОЯННЫЙ  ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ от Солнца  из центра масс каждого тела Земной группы (включая и Землю)   ведь ПРИ  ЭТОМ ПРАКТИЧЕСКИ НИЧЕГО  НЕ  ИЗМЕНИТСЯ  В  ОТНОСИТЕЛЬНЫХ  движения тел Земной группы, т.к. они в наших расчётах ВСЕ  ПЕРЕСТАНУТ ОДИНАКОВО УСКОРЯТЬСЯ к центру масс Солнца, сохраняя относительные скорости и положения между собой, а в уравнениях для тел останутся лишь ускорения от ВЗАИМНЫХ ПРИТЯЖЕНИЙ МЕЖДУ ВСЕМИ ТЕЛАМИ ЗЕМНОЙ ГРУППЫ. Эта идея не нова и была высказана ещё А.Эйнштейном  в его мысленном примере со СВОБОДНО ПАДАЮЩИМ к центру Земли ЛИФТОМ  и телами в нём (так называемый «Лифт Эйнштейна»).   Если сказать кратко, то  это метод ОБРАЩЕНИЯ движения в обратную сторону на  одну и ту же величину вектора гравитационного ускорения от Солнца для рассматриваемой нами Земной группы тел. 

   Такой подход  фактически приводит к  ЗАМЕНЕ  СИСТЕМЫ  КООРДИНАТ для расчёта траекторий:   вместо  СОЛНЕЧНОЙ  СИСТЕМЫ  КООРДИНАТ (с полной постановкой задачи движения для "трёх тел", учитывающей ускоренное движение к Солнцу и, естественно, с расстояниями в ~150 млн.км от Солнца до Земли и Луны)  ПЕРЕХОДИМ  К ЗЕМНОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ (невращающейся) СИСТЕМЕ КООРДИНАТ с рассмотрением задачи движения "двух тел", в которой  УЖЕ НЕТ УЧЁТА ВЛИЯНИЯ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ СОЛНЦА, а  расстояния не превышают размеров самых дальних орбит для Земной группы тел, например, для Луны с радиусом орбиты до  ~400 тыс.км. 

     Кстати, в солнечной системе координат траектория Луны выглядит весьма необычно для земного наблюдателя: в виде узенькой растянутой спиральки намотанной на почти круговую орбиту Земли  с 13 периодами спиральки (полнолуний)  за год обращения Земли вокруг Солнца, и амплитудой отклонений  Луны  от орбиты Земли +- 0,4 млн.км при радиусе орбиты Земли 149,6 млн.км. Но этот вид доступен для наблюдателя из космоса, находящегося над Солнцем и смотрящего по нормали  на плоскость орбиты Земли.

    Конечно, надо сразу отметить, что этот приём НЕ АБСОЛЮТНО ТОЧЕН, А ПРАКТИЧЕСКИ ТОЧЕН, поскольку гравитационное поле от ускорения притяжения Солнцем  Земли и Луны  немного ИЗМЕНЯЕТСЯ  ПО ВЕЛИЧИНЕ (+- 0.5%  в крайних участках  орбиты Луны относительно Солнца из-за изменения расстояния до него, да И ПО НАПРАВЛЕНИЮ (из-за вращения Земли вокруг Солнца в один оборот за год), что и приводит к НЕОДНОРОДНОСТИ этого поля, которая повлечёт за собой постепенное накопление ошибок в расчётах в сравнении с  полной постановкой движения "трёх тел" в Солнечной системе координат. Однако это весьма небольшие относительные ошибки второго порядка малости  и их можно устранить несложными мерами.   

  В итоге, с  достаточной  для практики точностью, можно рассчитывать относительные траектории тел внутри Земной группы в ЗЕМНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ с учётом всех  внутренних гравитационных сил взаимного притяжения между телами земной группы,  ПОЛНОСТЬЮ ИСКЛЮЧИВ  из уравнений движения УЧЁТ ВНЕШНЕГО ДЛЯ ЗЕМНОЙ ГРУППЫ ТЕЛ центростремительного УСКОРЕНИЯ ОТ СОЛНЦА С УЧЁТОМ ЕГО ПРАКТИЧЕСКОЙ ОДНОРОДНОСТИ для сегодняшней орбиты Луны вокруг Земли.

   Как оказалось, практически  нас не должны  волновать силы притяжения Солнцем Луны и Земли при рассмотрении  вращения Луны вокруг Земли.  Зря в рассматриваемом вопросе сравнивается сила взаимного притяжения Луны и Земли с силой притяжения от Солнца, т.к. силы притяжения Солнца сообщают ВСЕМ ТЕЛАМ Земной группы  ОДИНАКОВЫЕ центростремительные УСКОРЕНИЯ, которые «работают» ЛИШЬ НА ПЛАВНОЕ ИСКРИВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ИХ ПОЛЁТА вокруг Солнца, ПРАКТИЧЕСКИ ОДИНАКОВОЕ ДЛЯ ВСЕЙ  ЗЕМНОЙ ГРУППЫ ТЕЛ:  Земли  (до почти круговой орбиты) и  Луны с едва заметной (под микроскопом) спиралевидностью  относительно основной круговой орбиты Земли из-за того что она является спутником Земли), практически не влияя при этом на относительные движения тел Земной группы.   Благодаря  хорошей ОДНОРОДНОСТИ гравитационного ускорения от Солнца в области орбит Земной группы тел нет и практически заметного влияния Солнца на относительную траекторию Луны вокруг Земли. В итоге, удалось упростить расчёт траекторий с полной постановки "задачи трёх тел" (Солнце, Земля и Луна) до более простой "задачи двух тел" (Земля и Луна), отказавшись при этом от учёта сил притяжения Солнцем на Землю и Луну из-за практического равенства ускорений, вызываемых этими силами. 

 Для дальнейшего повышения точности расчётов в Земной системе координат очевиден весьма простой и понятный способ повышения точности расчётов в Земной инерциальной системе координат за счёт введения небольших ВЕКТОРНЫХ ПОПРАВОК к УСКОРЕНИЯМ всех тел Земной группы, вычисленных в виде ПРИРАЩЕНИЯ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ОТ УЧИТЫВАЕМОГО ВОЗМУЩАЮЩЕГО ФАКТОРА:  ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ  для каждого из анализируемых тел, (в нашем случае Луны),  ОТНОСИТЕЛЬНО ЗНАЧЕНИЯ ЭТОГО ЖЕ ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ В ЦЕНТРЕ ЗЕМНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, в котором поправка , естественно, всегда нулевая по определению!  Действительно, ну зачем учитывать полный эффект от практически одинакового для всех тел полного вектора ускорения от Солнца (нас ведь не интересует как все тела  с одинаковым ускорением "падают" на Солнце, а круговую орбиту Земли мы можем рассчитать отдельно, да и от траекторных "спиралек" Луны в Солнечной системе координат нам нет никакого толку.   А вот для повышения точности расчёта траектории Луны относительно Земли, естественно, подходит Земная инерциальная (невращающаяся) система координат.  При этом целесообразно использовать метод ПОПРАВОК, состоящий в учете ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЯ ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ для каждого из  рассматриваемых тел относительно значения  этого же ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ в  центре Земной инерциальной системы координат, иначе говоря, ЭТО ТОЧНЫЙ УЧЁТ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОСТИ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ от притяжения Солнцем для Земной группы тел.

   Кстати, при таком  ВЕКТОРНОМ  подходе  УЧИТЫВАЮТСЯ  НЕ ТОЛЬКО ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИН ВЕКТОРНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ от ускорения притяжения Солнца, НО И МЕДЛЕННОЕ  ВРАЩЕНИЕ (поворот на один оборот за год)  ОДНОРОДНОГО "ПОЛЯ"  ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ОТ СОЛНЦА относительно начала Земной инерциальной (невращающейся) системы координат .  Информация о положении Солнца относительно Земной группы тел ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ТОЛЬКО ДЛЯ РАСЧЁТА НЕБОЛЬШИХ ПОПРАВОК ОТ ОДНИХ ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЙ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ  от Солнца С УЧЁТОМ НАПРАВЛЕНИЯ  на Солнце и  РАССТОЯНИЯ до него.  

   Нам ничто не помешает, применить этот же подход к учёту гравитационных возмущений от любых планет Солнечной системы.  Аналогично можно применить эту методику для расчета движения, например,  «лунника», вышедшего на орбиту вокруг Луны уже в Лунной системе координат, игнорируя  при этом полный вектор ускорения притяжения от Земли, но учитывая его неоднородность (изменение) относительно центра масс Луны для спутника на орбите Луны методом поправок (приращений) и также поступить с векторами любых других возмущающих ускорений, например,  от Солнца и остальных его планет. При этом придётся определять НАПРАВЛЕНИЯ и РАССТОЯНИЯ  до учитываемых "возмутителей" с их ГРАВИТАЦИОННЫМ ВОЗМУЩАЮЩИМ УСКОРЕНИЕМ, НО НЕ В ЕГО ПОЛНОМ ВИДЕ, а только В ВИДЕ ВЕКТОРНОГО ОТКЛОНЕНИЯ (приложенного в рассчитываемому телу ) ОТ ЕГО ЖЕ возмущающего ЗНАЧЕНИЯ относительно центра выбранной системы координат, т.е. с учётом только  одной НЕОДНОРОДНОСТИ от возмущающего ускорения. 

   В итоге,  вопрос о возможном сходе Луны с орбиты вокруг Земли с УЧЁТОМ  РАССМОТРЕНИЯ  ВЕЛИЧИН СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ (или СООТНОШЕНИЯ СИЛ ), ДЕЙСТВУЮЩИХ на Луну  от Солнца и от Земли ,  НЕ МОЖЕТ ДАТЬ, в принципе,  ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА из-за своей  ОШИБОЧНОСТИ  по причине  ПРАКТИЧЕСКИ НЕЗАМЕТНОГО ВЛИЯНИЯ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА НА ОРБИТУ Луны вокруг Земли ПРИ СУЩЕСТВУЮЩИХ на сегодня РАССТОЯНИЯХ от Земли до Луны (~ 400 тыс.км).      Из всего вышеизложенного вытекает, что ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ РАСЧЁТОВ ТРАЕКТОРИЙ ТЕЛ ВМЕСТО ПОЛНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем по законам механики  НЕОБХОДИМО УЧИТЫВАТЬ ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЕ ЭТОЙ ЖЕ СИЛЫ,  зависящее от  разности расстояний  Луны и Земли относительно Солнца, иначе говоря, надо рассматривать влияние на орбиту Луны вокруг Земли ТОЛЬКО НЕОДНОРОДНОСТИ (ПРИРАЩЕНИЯ) СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Солнца, вычисляемую относительно Земли.  

   Если теоретически рассмотреть постепенное  увеличение размеров орбиты Луны  относительно существующей на сегодня, то рост неоднородности  притяжения Солнца приведёт к нарастающему смещению (деформации) условной середины орбиты Луны оносительно Земли в сторону Солнца вплоть до момента схода Луны с орбиты Земли  на минимальных расстояниях от Солнца, когда ПРИРАЩЕНИЕ силы притяжения Луны Солнцем (рассчитанное относительно значения этой же силы для центра масс Земли) , отрывающее Луну от Земли,  приблизится по своей величине к силе притяжения Луны Землёй  и скомпенсирует её воздействие на Луну.    Здесь, для простоты рассуждений, допустимо рассуждать в терминах сил, поскольку все они воздействуют на одно и то же тело (Луну), но надо всегда переходить от сил, поделив их на массу тела,  к ускорениям тела.

  Однако вернёмся от катаклизмов к устоявшимся веками орбитам космичесих тел: ЛЮБАЯ ПЛАНЕТА со своими спутниками в Солнечной системе  ЯВЛЯЕТСЯ в гравитационном рассмотрении  вполне АВТОНОМНОЙ (самостоятельной) СИСТЕМОЙ, неплохо "защищающей" орбиты своих спутников от гравитационного влияния (возмущения) ВНЕШНЕГО "гравитатора" ( например, Солнца)  по отношению к местному "гравитатору" (Земле) БЛАГОДАРЯ НАЛИЧИЮ в определённой окрестности относительно центра масс местного "гравитатора"  ЗОНЫ С ХОРОШЕЙ ОДНОРОДНОСТЬЮ гравитационного УСКОРЕНИЯ ПРИТЯЖЕНИЯ  ОТ ВНЕШНЕГО "ГРАВИТАТОРА" из-за большого расстояния до него.

 А ведь, действительно, в чём-то и правы оказались наши предки,  считая, что Солнце вращается вокруг Земли  и поэтому мы можем спокойно не учитывать его влияния на наши дела в Земной группе.  И хотя это, конечно же,  шутка, но в ней есть и большая доля правды: каждый  МЕСТНЫЙ  "ГРАВИТАТОР" со своей группой тел  ПО  ОТНОШЕНИЮ  К  СВОЕМУ  ВНЕШНЕМУ  "ГРАВИТАТОРУ"  ЯВЛЯЕТСЯ ЕГО  УМЕНЬШЕННОЙ МАЛОЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ  И  ВПОЛНЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ  КОПИЕЙ, например, Земная группа тел является малой копией самой Солнечной системы.   Земная группа тел всегда готова отправиться в самостоятельный полёт в космос, покинув Солнечную систему,  вместе со своими спутниками и Луной в поисках нового для себя внешнего "гравитатора", если сможет сойти с орбиты вокруг Солнца, получив, например, необходимую для этого немалую дополнительную скорость для этого ухода, например, за счёт появления большой неоднородности возмущающего ускорения при сближении двух разных галактик на близкое расстояние.  Так же и  Солнечная система, в свою очередь, является миниатюрной копией звёздного скопления нашей галактики «Млечный путь», а наша галактика  - миниатюрой копией в  ближайшем скоплении  галактик  в  Метагалактике и т.д.    Причём каждая из них живёт по своим гравитационным законам от своего основного местного «гравитатора» для рассматриваемой группы тел, траектории которых могут заметно возмущаться в движениях вокруг него ЛИШЬ ПРИ ДОВОЛЬНО БОЛЬШИХ НЕОДНОРОДНОСТЯХ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ от вышестоящего по иерархии БЛИЖАЙШЕГО  ВНЕШНЕГО «ГРАВИТАТОРА».  Чёткая гравитационная иерархия, напоминающая армейскую иерархию (Главнокомандующий руководит Всеми починёнными ему силами через приказы своему ближайшему, нижестоящему по должности, командующему, а тот - своему нижестоящему  и т.д.  до солдата. Вот только интересно, кто выступает в  роли Главнокомандующего "гравитатора" в космосе, очень надеюсь,  что  это не "тёмные" силы, а что-то светлое).

   Как видим, вышестоящий по массе «гравитатор», например, Солнце, не даст раздуться "местной лягушке" (Земной группе тел) "до размеров вола" за счёт высоких орбит её спутников, и сорвёт их с орбиты вращения вокруг Земли за счёт неоднородности своего влияния, сделав их своими солнечными спутниками.  Луна пока ещё  спутник Земли, но если она будет и дальше по непонятным причинам продолжать удаляться от Земли на несколько сантиметров в год, то сойдёт с орбиты спутника Земли на самостоятельную солнечную орбиту, избавившись при этом от существующих сейчас малозаметных 13 годовых спиралек на своей новой солнечной орбите и может быть повышена до статуса планеты, а  нашим потомкам придётся создавать искусственное освещение в ночное время с земной орбиты спутниковыми "зонтиками" из почти невесомой отражающей солнечный свет плёнки (это уже не шутка:  китайцы уже провели первые орбитальные испытания  с целью экономии на освещении по ночам).

   Поскольку "повторение - мать учения", то подведём основные итоги:

1. Надо быть внимательными при постановке задач расчёта траекторий и учитывать влияние притяжения от какого-либо тела для всех остальных рассматриваемых тел  БЕЗ  ИСКЛЮЧЕНИЙ.  Если, например,  учитываем притяжение Луны Солнцем, то это уже задача движения "Трёх тел", рассматриваемая в Солнечной системе,  и необходимо учесть так же и силу притяжении Земли Солнцем.

2.     Крайне  ОШИБОЧНО  пытаться  оценивать движение тел (хотя бы и качественно: сойдёт или не сойдёт Луна с орбиты вращения вокруг Земли)  ПО ВЕЛИЧИНАМ СИЛ, действующих на них, ИЛИ ИХ ОТНОШЕНИЯМ!   Необходим ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ учёт влияния МАССЫ ТЕЛ (как  их характерного свойства ИНЕРЦИОННОСТИ сопротивляться разгону по воздействием силы) для   ПЕРЕСЧЁТА действующих на тела СИЛ в соответствующие им УСКОРЕНИЯ  (путём деления результирующей силы на величину массы тела по второму закону механики),  которые и позволят решить все задачи движения (определить  скорость и траекторию тела путём интегрирорования ускорения и скорости тела.).

3.    С достаточной для практики точностью  МОЖНО  НЕ  УЧИТЫВАТЬ  ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ СОЛНЦА на траектории спутников Земли  (например, вращения Луны вокруг Земли)  и рассчитывать траектории в Земной инерциальной (невращающейся) системе координат благодаря  практически однородному (постоянному) вектору гравитационного Солнечного ускорения , поскольку ускоренное падение ВСЕХ тел Земной группы (Земли и Луны) с одним и тем же по величине ускорением в сторону Солнца практически не влияет на относительные движения тел, вызываемых внутренними силами гравитации между телами Земной группы.     Для повышения точности расчётов траекторий тел в Земной системе координат достаточно ввести УЧЁТ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ от Солнца  за счёт применения метода ПОПРАВОК (или иначе,  ПРИРАЩЕНИЙ), состоящий в учете ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЯ ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ для каждого из тел относительно значения  этого же ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ в  центре Земной системы координат, что позволяет учесть влияние ТОЛЬКО НЕОДНОРОДНОСТИ гравитационного поля от Солнца вокруг Земли (без рассмотрения влияния полного значения этого вектора).

4.    И всё-таки Луна, несмотря на все «теории»,  ЯВЛЯЕТСЯ СПУТНИКОМ ЗЕМЛИ  для земных наблюдателей и продолжает  вращаться, в целом,  согласно всем законам классической механики, включая закон всемирного притяжения Ньютона,  о чём свидетельствуют также и расчёты автора этого комментария по своей программе, специально созданной для решения задачи движения 4-ёх космических тел в полной постановке (см. уравнения движения на примере Задачи трёх тел в книге Г.Н.Дубошина «Небесная механика. Основные задачи и методы» Издательство «Наука», 1968г,  Глава XIV. «Задача трёх тел», стр. 730-731, выр. 14.1` и 14.2`).  

5.  Главный вывод.  Из всего вышеизложенного вытекает, что рассматриваемый вопрос был сформулирован с точки зрения законов физики НЕГРАМОТНО и влечёт за собой "бытовой" вывод о "неработающем" законе всемирной гравитации Ньютона, якобы не объясняющему эффект от сравнения величин сил, приложенных к Луне, и явно противоречащий наблюдаемой нами при этом действительности - стабильному вращению Луны вокруг Земли. Виноват не закон, а ошибочное, навязанное вопросом,  сравнение сил, действующих на Луну.  Не надо рассматривать никаких СООТНОШЕНИЙ СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ  Луны к Солнцу и Земле при анализе вращения Луны вокруг Земли, т.к. они абсолютно бесполезны, как мартышке очки.   ОШИБКА СОСТОИТ В УЧЁТЕ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем, которая ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ВЛИЯЕТ на относительное вращение Луны вокруг Земли при сегодняшней  величине  орбиты Луны (её апогее и перигее). 

    ВМЕСТО ПОЛНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем НЕОБХОДИМО УЧИТЫВАТЬ_ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЕ ОТ ЭТОЙ ЖЕ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС Земли, зависящее от  разности расстояний  Луны и Земли относительно Солнца.  Поскольку анализируется движение Луны вокруг Земли, то и приращение определяется относительно центра масс Земли.   ПРИРАЩЕНИЕ от силы притяжения Луны Солнцем по аналогии с математикой означает взятие  дифференциала от силы, а не учёт текущей величины силы, а это две большие разницы.    Иначе говоря, надо рассматривать наряду с силой притяжения Луны Землёй  НЕ  ВЕЛИЧИНУ СИЛЫ  ПРИТЯЖЕНИЯ  Луны Солнцем,  а  только влияние её  ПРИРАЩЕНИЯ (НЕОДНОРОДНОСТИ) относительно  Земли.   И, естественно, необходимо  всегда пересчитывать силы в ускорения, как того требует второй закон механики, для проведения дальнейших расчётов скорости и траектории рассматриваемого тела за счёт первого и второго интегрирования суммарного вектора ускорения центра масс тела в выбранной системе кординат (так называемый "расчёт динамики движения" тела).

Так что студентам не стоит сомневаться в законах Ньютона: они проверены столетиями наблюдений и практикой их применения. Хотя и несущественные поправки возможны, но только из-за влияния пока неизвестных источников космических гравитационных возмущений. 

 В заключение две цитаты:

«В истории естествознания не было события более крупного, чем появление «Начал» Ньютона. »    С.И.Вавилов.   

  ( С.И.Вавилов (1891-1951) - советский физик, основатель научной школы физической оптики в СССР, действительный член (1932) и президент АН СССР (1945-1951), общественный деятель и популяризатор науки. Лауреат четырёх Сталинских премий.)

«Законы классической механики и вытекающие из них логические следствия ... с высокой точностью описывают и предопределяют движение и равновесие макротел в природе и механике, служат надёжным фундаментом как практических расчётов, так и исследований в области физики и других естественных наук.»      А.Ю. Ишлинский (Заключение из книги "Классическая механика и силы инерции")

     (А.Ю. Ишлинский (1913-2003) - академик АН СССР, а затем РАН, доктор ф-м наук и профессор МГУ, директор Института механики и Проблем механики, лауреат Ленинской и Государственных приемий СССР и РФ., посвятивший свою научную и профессиональную деятельность решению сложнейших задач космической механики в области динамики твёрдого тела и теории гироскопов, работал совместно с  С.П.Королёвым и М.В.Келдышем. Его книгу "Классическая механика и силы инерции" (320стр.) настоятельно рекомендую всем интересующимся механикой в качестве первого основного пособия по классической механике.)

   P.S.  Вопрос закрыт.  Луна продолжает оставаться спутником Земли, несмотря ни на какие удивительные, на первый взгляд, отношения сил, действующих на неё. Надеюсь, что этот комментарий кому-то помог понять какие силы реально определяют вращение Луны вокруг Земли с точки зрения законов механики. 

   Кстати, в  нижеприведенных комментариях прошлых лет по данному вопросу о Луне увидел типичные неграмотные попытки объяснять что-либо с использованием термина "ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ СИЛЫ" без оглядки на то, в какой системе координат рассматривается данный вопрос.    Да  НЕТ  ЭТОЙ  ФИКТИВНОЙ  силы, как  и, так называемых, СИЛ ИНЕРЦИИ  в  РЕАЛЬНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ и соответственно в ИНЕРЦИАЛЬНЫХ (невращающихся) системах координат.   ЗАБУДЬТЕ про них в инерциальных системах, как кошмарный сон!    Для расчёта параметров космической ТРАЕКТОРИИ ТЕЛА, как и в данном комментарии, ИСПОЛЬЗУЮТСЯ  ТОЛЬКО  ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ системы, в которых единственными учитываемыми силами являются силы гравитационного взаимного притяжения между всеми рассматриваемыми телами без всяких там центробежных сил инерции.   ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ СИЛЫ  как силы инерции во вращательном движении ВЫНУЖДЕННО ВВОДЯТСЯ ТОЛЬКО В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ  ВРАЩАЮЩИХСЯ системах ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ ИЗ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ТЕЛА в такой вращающейся системе! Большое спасибо за это Д'Аламберу, Лагранжу и Эйлеру.

   Вот, например, почему геостационарный спутник, с которого принимаются сигналы ТВ за счёт НЕПОДВИЖНОЙ земной спутниковой антенны,  не падает  с орбиты под действием силы притяжения Земли, хотя и висит всё время НА ОДНОЙ  И ТОЙ ЖЕ ВЫСОТЕ В ПЛОСКОСТИ  ЭКВАТОРА ЗЕМЛИ  над одним и тем же местом над Землёй (в зените прямо над чьей-то головой) ?  Да потому, что мы разглядываем его, находясь на поверхности Земли, которая ВРАЩАЕТСЯ с угловой скоростью один оборот в сутки, т.е. в НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ системе, и чтобы получить в этой системе ПРАВИЛЬНЫЙ результат (постоянную высоту спутника, а не его ускоренное свободное падение )  БЫЛИ ПРОСТО ВЫНУЖДЕНЫ ДОБАВИТЬ  в УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ  к силе притяжения спутника Землёй ФИКТИВНУЮ,  НЕСУЩЕСТВУЮЩУЮ  в природе, так называемую, ЦЕНТРОБЕЖНУЮ СИЛУ, численно равную РЕАЛЬНОЙ силе притяжения спутника к Земле,  но  НАПРАВЛЕННУЮ В ОБРАТНУЮ СТОРОНУ так, что, в итоге,  СУММА СИЛ, действующих на спутник, ОБНУЛЯЕТСЯ И спутник не падает в такой вращающейся системе координат.  А вот в инерциальной НЕвращающейся системе, направленной на какую-либо далёкую неподвижную звезду и началом координат в центре масс Земли,  на спутник действует ТОЛЬКО ОДНА ЕДИНСТВЕННАЯ  РЕАЛЬНАЯ НЬЮТОНОВСКАЯ СИЛА - СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ к Земле (она же ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНАЯ СИЛА), под действием которой он ВСЁ ВРЕМЯ ФАКТИЧЕСКИ свободно ПАДАЕТ к центру Земли, но БЛАГОДАРЯ НАЛИЧИЮ у него  орбитальной скорости, соответствующей значению первой космической скорости (~7,9 км/сек),   центростремительное ускорение от воздействия силы притяжения СПОСОБНО ТОЛЬКО ПОВОРАЧИВАТЬ ВЕКТОР ОРБИТАЛЬНОЙ СКОРОСТИ СПУТНИКА, не меняя его величины, что и приводит к получению из уравнений движения тела к круговой орбите вокруг Земли). А теперь оцените разницу: в "инерциалке" мы получили расчёт траектории тела, его круговую орбиту, а  в "неинерциалке" имеем лишь  баланс взаимно уравновешенных сил реальной (сила притяжения) и фиктивной (центробежная), т.е "замороженную" во времени, СТАТИЧНУЮ картинку расположения тел друг относительно друга и, естественно, постоянную высоту спутника  и накаких траекторий полёта.  Так что, если вам "ехать" (рассчитывать орбиту тела), а  не любоваться "шашечками" на такси,  то Вам прямой путь в ИНЕРЦИАЛЬНУЮ систему координат, где нет НИКАКИХ фиктивных ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ, а только физические реальные и понятные, так называемые, Ньтоновские силы гравитационного притяжения  (см. выше упомянутую книгу А.Ю. Ишлинского).   В качестве типичного примера использования статики тел в НЕИНЕРЦАЛЬНОЙ системе можно назвать  рисунок со "сферой Хилла" (см.его в интернете), где рассмотрено положение 5 "либрационных" точек (L1-L5)  с так называемым "равновесным" состоянием для мелких тел относительно Солнца и Земли, ПОЛУЧЕННЫЙ в НЕинерциальной вращающейся системе координат с продольной осью направенной из центра масс Солнца к центру масс Земли (точнее из барцентра - общего центра, вокруг которого вращается не только Земля, но и Солнце с весьма небольшим радисом орбиты вокруг барцентра) и вращающеся с угловой скоростью вращения Земли вокруг Солнца, но теперь уже с учётом, естественно,  центробежных сил, приложенных КО ВСЕМ рассматриваемым телам, не  исключая даже  Солнца из-за его вращения вокруг барцентра.

  Примечание: Конечно же, надо отметить, что именно в НЕинерциальных системах и проводятся самые сложные расчёты траекторий и динамических нагрузок (зачем тогда был бы нужнен курс Теоретической механики), например, в сложных механизмах машин для определения динамических и инерционных нагрузок (теперь уже с обязательным учётом всех видов "сил инерции", а точнее , ускорений от них (переносное,  кориолисовое и ускоренно-вращательное, появляющееся только при ускоренном вращении неинерциальной ситемы координат). Однако для расчётов траекторий тел в космосе по причине  их простоты относительно  сложных механизмов целесообразно применять  инерциальные системы координат, где "царствуют" только Ньютоновские силы взаимного гравитационного притяжения между телам и нет, даже в помине, фиктивных сил инерции в том числе и центробежной силы, побившей все мыслимые и немыслимые рекорды по её бездумному применению там, где её никогда не должно быть, а именно в инерциальных системах координат (невращающихся и движущихся без линейного ускорения их начала координат).   

     А вот вопрос об оценке величины "критического" расстояния Луны от Земли, при котором Луна безусловно сойдёт с орбиты вокруг Земли и перестанет быть спутником Земли , а так же размышления  о впечатляющем изобилии разных сфер для Земли ( "сфера действия", "сфера влияния", "сфера притяжения" и "сфера Хилла")  обсудим в другом комментарии.

  16 декабря 2019г. 20.40 время московское.

  А не многовато ли будет разных «сфер»  (действия, влияния, притяжения, и «Хилла») для планеты Земля?

    В одном из последних комментариев к вопросу «О том, что сила притяжения Луны к Солнцу больше в 2,2 раза, чем к Земле» есть  ссылка на статью:  К.В.ХОЛШЕВНИКОВА «Луна - спутник или планета?»  (http://www.astronet.ru/db/msg/1167143 ), заинтриговавшая своим неординарным названием и с рассмотрением трёх гравитационных «сфер» для планеты Земля.  Мне как инженеру-механику по динамике полёта, далёкому от космических дел, такое изобилие понятий о «сферах» вокруг Земли показалось избыточным и захотелось разобраться в них и понять их предназначение. 

   В предыдущем комментарии по вопросу «Так почему Луна вращается вокруг Земли, если сила притяжения её Солнцем в 2,0-2,5 раза больше силы притяжения Луны к Земле?» было показано с позиций Закона притяжения тел и второго закона Ньютона, что из двух действующих на Луну сил (сил притяжения к Солнцу и к Земле)  МОЖНО ПРАКТИЧЕСКИ НЕ УЧИТЫВАТЬ ВЛИЯНИЕ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ  Луны к Солнцу НА ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ТРАЕКТОРИЮ ВРАЩЕНИЯ Луны вокруг Земли благодаря высокой ОДНОРОДНОСТИ ПОЛЯ от этой силы при существующих размерах орбиты Луны.   При этом для получения более точных расчётов в Земной инерциальной системе координат необходимо ВМЕСТО СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ  от Солнца УЧИТЫВАТЬ ЛИШЬ ЕЁ ВЕКТОРНЫЕ  ПРИРАЩЕНИЯ (метод ПОПРАВОК, или ПРИРАЩЕНИЙ) относительно  вектора силы притяжения в центре Земной системы координат, что позволяет УЧЕСТЬ ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ векторного ПОЛЯ ПРИТЯЖЕНИЯ  от Солнца на движение Луны вокруг Земли.   Далее, в соответствии со вторым законом механики, вместо величин сил используем только  соответствующие им ускорения тел (как принято у инженеров-механиков при расчёте динамики полёта тел).

   Для начала оценим максимальное расстояния Луны от Земли, на котором Земля ещё способна удерживать Луну (да и любое  материальное тело, независимо от величины его массы) на своей орбите в качестве своего спутника.  Понятно, что достаточным условием схода Луны или любого спутника с орбиты Земли будет такое максимальное расстояние от Земли, при котором  вышеупомянутое ПРИРАЩЕНИЕ ОТ УСКОРЕНИЯ СОЛНЕЧНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ относительно центра масс  Земли (за счёт того, что Луна будет находиться ближе к Солнцу, чем Земля) сравняется с ускорением притяжения от Земли, т.е. произойдёт КОМПЕНСАЦИЯ ускорения притяжения Земли приращением ускорения от Солнца (ускорения  противоположно направлены)  и Луна сойдёт с орбиты вокруг Земли на самом близком к Солнцу расстоянии (в её «новолуние» относительно Земли), двигаясь в начале схода по касательной к уже бывшей своей орбите относительно Земли.

 На  рис.1 показан график изменения гравитационного ускорения от Земли (gЗемли – тёмного цвета) и график  ПРИРАЩЕНИЯ ускорения от Солнца относительно Земли  (dgС-З – красного цвета), в зависимости  от расстояния R (от центра масс Земли по оси абсцисс, направленной к центру масс Солнца).

     Как видим,  приращение ускорения от Солнца  применительно к Земной системе координат(СК),   начинается с нуля в центре масс Земли в полном соответствии с общепринятым МЕТОДОМ ПРИРАЩЕНИЙ, когда вектор ускорения притяжения от Солнца, рассчитанный  для начала применяемой СК, расположенной, в данном случае, в центре масс Земли, ВЕКТОРНО ВЫЧИТАЕТСЯ из своего же значения В  ЦЕНТРЕ  СК (поэтому-то  и ВСЕГДА получаем НУЛЬ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ  МЕТОДА ПРИРАЩЕНИЙ в начале принятой для расчётов СК),  но одновременно этот же самый вектор от Солнца, определённый для начала СК,  опять же векторно (с учётом трёхмерности СК) вычитается и из ТЕКУЩЕГО значения вектора УСКОРЕНИЯ от Солнца,  но ВЫЧИСЛЕННОГО  уже ДЛЯ ЦЕНТРА МАСС АНАЛИЗИРУЕМОГО ТЕЛА (Луны), движение которого мы и определяем в выбранной нами Земной СК.   Этот, учитываемый в уравнениях движения для тела, РАЗНОСТНЫЙ ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ от Солнца НАЗЫВАЕТСЯ  УЧИТЫВАЕМЫМ ВОЗМУЩАЮЩИМ ФАКТОРОМ  (в данном случае ВОЗМУЩЕНИЕМ  от притяжения Солнцем  на  траекторию тела в Земной СК) и, как видно из рис.1,  приращение имеет практически линейный характер, несмотря на  обратно-квадратическую зависимость в законе притяжения,  благодаря сравнительно небольшой величине рассматриваемого интервала дальности (до 3 млн.км) при расстоянии до Солнца 149,6 млн.км.

     Точка пересечения на рис.1  графика ускорения от притяжения Землёй и графика ВОЗМУЩАЮЩИХ ПРИРАЩЕНИЙ  от ускорения притяжения Солнцем,  где они сравниваются,  и определяет искомое нами «критическое расстояние» удержания Землёй на своей орбите любых спутников независимо от величины их массы (ведь ускорения от гравитационного притяжения для всех тел на одном и том же расстоянии от притягивающего тела  ОДИНАКОВЫ по величине, будь то искусственный спутник  или Луна).   Максимально возможное («критическое») расстояние  удержания тел гравитационным притяжением от Земли с учётом возмущений от Солнца получилось равным  ~1,68 млн.км.  При этом притягивающее ускорение от Земли, воздействующее на тела при этой максимальной дальности, составило  ~140·10^-6 [м/сек²].

    Понятно, что это лишь оценка «критического» расстояния сверху, как говорят математики, а реальное значение должно быть несколько меньше, но на сколько?

     Благодаря наличию у автора данного комментария программы, созданной им для расчёта траекторий движений 4-ёх  космических тел в полной постановке (число учитываемых тел несложно  было увеличить,  но 4-ёх тел было вполне достаточно для учёта ещё и спутников)  в соответствии с простой и вполне понятной методикой из книги: Г.Н. Дубошина «Небесная механика. Основные задачи и методы» Издательство «Наука», 1968г,  Глава XIV. «Задача трёх тел», стр. 730-731, выр. 14.1` и 14.2`)  была определена (за счёт серии расчётов) величина  «критического начального расстояния» до Луны относительно Земли, при котором происходит устойчивое  удержание Луны Землёй на протяжении  3-5 годовых оборотов Земли вокруг Солнца, и  которое в итоге составило максимум  ~ 1,60 млн.км при начальном значении орбитальной скорости Луны относительно Земли  0.1415 км/сек (с допустимым из условий захвата Луны Землёй разбросом по величине начальной орбитальной скорости Луны относительно Земли не более +-0,0015 км/сек, т.е. .(+-1,1%).   Это уже полностью «выжатый», как лимон, максимум по «критическому» расстоянию (например, уже при начальной дальности до Луны в 1,61 млн.км не удалось получить стабильного удержания Луны на орбите вокруг Земли, т.к . происходил сход Луны с орбиты уже  вначале второго годового  витка  вокруг Солнца ).

      На такой предельной дальности удержания  орбита Луны весьма далека от круговой и представляет из себя очень вытянутый эллипс с большой полуосью эллипса, равной начальному расстоянию до Луны (1,6 млн.км), а малая полуось эллипса очень мала и приближается к 0,05-0,2 млн.км относительно Земли.    При меньшей начальной дальности до Луны, например,  1.50 млн.км  начальная орбитальная скорости Луны, при которой происходил устойчивый переход к орбите спутника Земли,  составила  0,114  +-0,014 км/сек.  Уменьшение начальной дальности до Луны относительно её предельного значения сопровождается расширением допустимого разброса по величине  начальной орбитальной скорости Луны относительно , например,  до  +-12% на расстоянии 1,5 млн.км, вместо +-1,1% для предельной дальности 1,6 млн.км..

    Как видим, получились весьма близкие результаты по предельной дальности (1,60 млн.км по программе расчёта для «Трёх тел» и 1,68 млн.км по графической оценке из рис.1), хотя  были опасения получить  меньшую величину дальности в программных расчётах из-за возможного влияния  динамического заброса в процессе втягивании Луны из начальных условий  в установившийся режим вращения вокруг Земли.

 Далее приведены некоторые характерные скриншоты данной программы.  

  На первом скриншоте (начальная дальность до Луны  R0л=1,59 млн.км с начальной орбитальной скоростью её относительно Земли V0л=0.132 км/сек ) произошёл сход Луны (красная траектория) с орбиты Земли (тёмно-синяя траектория), начавшийся  где-то в конце первой половины годового витка. 

  На втором показан момент соударения Луны с Землёй в начале второй половины первого годового витка (R0л=1,50 млн.км и V0л=0,09 км/сек), определяемый специальной процедурой в программе по моменту смены знака скорости их сближения, чтобы не проскочить момент соударения с учётом реальных диаметров Земли и Луны и с выдачей аварийного сообщения о целесообразности продолжения счёта текущего варианта.

  На третьем (R0л=1,59 млн.км и V0л=0,14 км/сек) показано устойчивое вращение Луны  вокруг Земли  уже на начало 6-го годового витка. 

   К сожалению, правая часть скриншота не видна, где выводится информация по году, дню, часам, мин и сек текущего варианта расчёта.  Все вращения Земли и Луны поисходят против часовой стрелки, что сделано для соответствия реальным  направлениям вращения Луны и Земли при виде на плоскость эклиптики  и на северный полюс Земли. Кстати, закручивание Луны относительно Земли в другую сторону (по часовой стрелке) за счёт её размешения ближе к Солнцу в момент начала счёта, практически не влияет на результаты расчётов максималной дальности. В дальнейшем будет добавлен  вывод на это же поле графика относительной траектории вращения Луны вокруг Земли  в удобном масштабе. Для этого есть все данные, но требутся огранизовать сам вывод на поле графика. 

 Примечание: Cправка о ПК и методе интегрирования в программе.  Время счёта данной программой на ПК 10-летней давности с 4-ёх ядерным процессором  "Quad Q6600" и тактовой частотой работы  2,4ГГц  одного годового витка Земли вокруг Солнца составляет 7мин 47сек. при использовании для интегрирвания дифференциальных уравнений движения тел шага счёта 0.25сек с применением метода  Адамса 4-го порядка точности с использованием подхода явного (метод Адамса-Бошфорта 4-го порядка) и подхода неявного (3-х шаговая неявная формула Адамса-Мултона ), что повысило точность и устойчивость расчётов, которые проходили и при шаге счёта 0,50 сек,  но для гарантии точности расчётов был использован всё же более мелкий шаг  интегрирования по времени 0.25сек. Кстати, при сравнении с решением задач самонаведения ЛА, где траектории гораздо более изменчивые (с боковыми перегрузками, превышающими в  несколько десятков раз ускорение от притяжения Землёй),  шаг интегрирования дифуравнений практически такой же (0,125 сек при применении стандартного метода Рунге-Кутта).    Следует отметить,  неожиданный факт довольно высоких требований к шагу интегрирования дифуравнений при расчёте таких малоповоротливых космических тел.   

  Годовое вращение гравитационного поля от Солнца существенно  влияет на эволюцию удлинённых орбит спутников Земли, поскольку спутники стремятся сохранить положение плоскости своей орбиты стабильным относительно неподвижных далёких звёзд, а Солнце непрерывно поворачиваясь относительно плоскостей орбит спутников Земли на 360 градусов в течении земного года, влияет на орбиту Луны с разных направлений (влияние неоднородности поля гравитации Солнца не только по величине, по и по направлению), превращая выше найденное «критическое расстояние» из одной точки (в новолуние) по мере поворота Солнца относительно инерциальной Земной СК  в геометрическое место точек в виде круга относительно Земли за один годовой оборот.

 Так называемая «сфера Хилла»  задаёт максимально-возможную дальность удержания спутников,  величина радиуса которой составляет от 0.94 до 1,5 млн.км. (по данным из статьи «К.В.ХОЛШЕВНИКОВ Луна - спутник или планета?»). А по данным из ниже рассматриваемой книги В.И.Левантовского величина радиуса «сферы Хилла» равна 1,5 млн.км для Земли.  Как видим, расчёты по программе в полной постановке для «Трёх тел»  практически весьма близки к максимальной величине расстояния «сферы Хилла» (1,60 и 1,50 млн.км).    

   Поиск в интернете информации о разных гравитационных сферах для Земли привёл к интересной книге  В.И.Левантовского ( «Механика космического полёта в элементарном изложении»  3 издание, 1980г.) в главе2, параграф 7 «Сфера действия и приближённый метод расчёта траекторий», стр. 68-72).

   Автор рассматривает в ней методику приближённого расчёт траекторий полёта от Земли к другим планетам Солнечной системы. Например, в начальной фазе после старта с Земли расчёт ведётся в Земной Системе Координат (СК) с применением упрощённых «кеплеровых» траекторий  и рассмотренного ранее  (в моём комментарии от 16.12.2019г)  метода Поправок (Приращений) при  учёте возмущающего влияния неоднородности гравитационного поля Солнца.     По мере увеличения расстояния от Земли и приближении к «сфере Хилла» для бортового  компьютера межпланетной космической станции наступает пора переходить к расчёту траектории её полета из Земной СК в Солнечную СК, поскольку ОТНОСИТЕЛЬНАЯ величина в методе ПОПРАВОК приращения ускорения от Солнца, отнесённая к величине текущего ускорения от притяжения Землёй, начинает быстро нарастать, с 0,5% на дальности орбиты Луны (~0,4 млн.км) до, например, 68% на дальности 1,5 млн.км.

   Расстояние от Земли, на котором космические баллистики считают нужным переходить (для обеспечения требуемой точности в  определении параметров движения космической стации) от расчёта траектории в  текущей системе координат (например,  Земной СК) к расчёту в другой системе координат (соответственно, к Солнечной СК) и  называется в книге «СФЕРОЙ ДЕЙСТВИЯ» Земли.

     Для оценки этого расстояния автор книги рассмотрел величины ВОЗМУЩАЮЩИХ ПОПРАВОК, отнесённых к основному ускорению (в %)  в  каждой из  систем координат:  Земной СК (с возмущением от Солнца)   и  в Солнечной СК (с возмущением от Земли) для двух значений дальности (0,5 и 1,5 млн.км.) от Земли, и показал что на малой дальности выгоднее расчёт в Земной СК, а на большей –  в Солнечной с точки зрения МЕНЬШЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ДОЛИ ПОПРАВОК относительно земного ускорения (в Земной СК)  и  солнечного ускорения (в Солнечной СК).     

     Было решено построить для данного комментария  (отсутствующие в рассматриваемой книге) графики этих относительных поправок в [%] по дальности от Земли в направлении  на Солнце, рассчитанные для двух систем координат Земной и Солнечной.   Отметим, что методика определения поправок для Земной СК уже ранее была описана,  а вот  расчёт поправки при определении траектории в Солнечной СК состоит в том, что надо брать ПРИРАЩЕНИЕ от теперь уже ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ ОТ ЗЕМЛИ для центра масс межпланетной станции  относительно ускорения от Земли на расстоянии до центра масс Солнца, т.к. расчёт идёт уже в Солнечной СК.    Однако  ВЕЛИЧИНА ЗЕМНОГО УСКОРЕНИЯ  на расстоянии до центра масс Солнца в ~149,6 млн.км,  оказывается совсем незаметной (0,018·10^-6 [м/сек²])   (для справки, на оценке максимальной дальности сверху по удержания тел Землёй в  ~1,68 млн.км ускорение от Земли равно  ~140·10^-6 [м/сек²](см. рис.1) ),   и поэтому ПРИРАЩЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ ОТ Земли для текущего положения центра масс станции просто  РАВНО ВЕЛИЧИНЕ ЗЕМНОГО УСКОРЕНИЯ (ведь из неё вычитается почти нулевая величина), но  ОТНЕСЁННОЙ уже к УСКОРЕНИЮ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ Солнца, т.к. это поправки  в СОЛНЕЧНОЙ СК от Земного возмущающего ускорения, то и  относить их надо к величине ускорения от Солнца, поскольку расчёт идёт в Солнечной СК.

       На рис2. приведены два графика для этих ОТНОСИТЕЛЬНЫХ поправок (в зависимости от расстояния от Земли) для расчётов в Солнечной СК:   gЗ  =  gЗемли / gСолнца; (тёмно-зелёный цвет)     и в Земной СК:    dgC= ( gС(при (Rc – R)) – gС(при Rc) ) / gЗемли   (красный цвет);     

где Rc =149,6 млн.км – расстояние от Земли до Солнца, R – расстояние от Земли в направлении на центр масс Солнца.

      На рис.2  отмечены 4 характерных точки («т.1» - «т.4»). На первый взгляд, с точки зрения равной погрешности вычислений как в Земной, так и Солнечной системе явно подходит точка «т.3», т.к в ней доля поправки одинакова для обеих СК и равна 10,3%  при дальности от Земли 0,8 млн.км, которую и можно было бы принять за значение «сферы действия» Земли для перехода между расчётами в Земной и Солнечной СК.    

   Приведём определение для «Сферы действия тяготения» (С. д. т.)  из  БСЭ (энциклопедии) (https://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/137366/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0 ) :

«  «Сфера действия тяготения» - небесного тела, область пространства, в которой тяготение данного тела доминирует над притяжением всех других небесных тел…   Если тело находится внутри С. д. т. какой-либо планеты, то его движение целесообразно изучать в системе координат, связанной с этой планетой; притягивающее же действие Солнца учитывать как возмущение (см. Небесная механика). При нахождении С. д. т. планеты притяжением всех других планет пренебрегают.

    С. д. т.  планеты определяется следующим образом. Если R есть ускорение, сообщаемое некоторому телу Солнцем в его гелиоцентрическом (отнесённом к центру Солнца) движении, а F — возмущающее ускорение со стороны планеты; если, с другой стороны, R₁ есть ускорение, сообщаемое телу планетой в её планетоцентрическом движении, а F₁ — возмущающее ускорение, вносимое в это движение притяжением Солнца, то С. д. т. планеты является область, в которой выполняется неравенство: F₁/R₁ <  F/R. За пределами этой области выгоднее за основу принимать гелиоцентрическое движение.»

  Смысл членов этого неравенства из статьи БСЭ  и в данном комментарии ПОЛНОСТЬЮ СОВПАДАЕТ  с долями поправок, нарисованными на рис.2 ,  F₁/R₁= dgC , а  F/R =  gЗ и поэтому неравенство  F₁/R₁ <  F/R  эквивалентно неравенству в наших обозначениях:       dgC <  gЗ  .

  Если взглянуть на рис.2 , то это означает только то, что величина радиуса «сферы дальности тяготения» для планеты Земля, где целесообразно вести расчёты в Земной СК  должна быть согласно неравенству менее 0,8 млн.км,  где красная кривая (dgC) начинает идти ниже тёмно-зелёной кривой (gЗ), т.е. слева от «т.3» по дальности.  Иначе говоря, данное условие в БСЭ,  написанное для любых планет Солнечной системы. Однако по предложенному в этой статье выражению для расчёта  С. д. т.  её радиус для планеты Земли составляет 0,929 млн.км., что близко в значению, которое было приведено в книге В.И.Левантовского (см. ниже). 

 Необходимо отметить принципиальную ошибку в первой строке из статьи БСЭ, определяющую С. д. т.  как «область пространства, в которой тяготение данного тела доминирует над притяжением всех других небесных тел».     Это неправильно, если посмотрите на рис.2, то в диапазоне дальности от  ~260 тыс.км («т.1») до  ~800 тыс.км. («т.3») сила притяжения Солнцем  БОЛЬШЕ  силы притяжения от Земли от 1 до 10 раз (см. параметр Fс-з на рис.2), т.е. в  2/3 области по радиусу сферы С. д. т. , или в 96,5% объёма сферы,  С. д. т. притяжение от Солнце превышает притяжение от Земли!

   Надо было написать, что  ««Сфера действия тяготения»  небесного тела это  область пространства, в которой тяготение данного тела доминирует над ПРИРАЩЕНИЕМ притяжений всех других небесных тел,  рассчитанных  относительно центра масс тела»

   А вот с точки зрения относительной погрешности в определении величины дальности  ситуация в  Солнечной СК гораздо тяжелее, чем в Земной СК, поскольку расстояние до Солнца в ~ 100 раз больше, чем до Земли.   Например, при появлении ошибки в сторону завышения дальности до Солнца (относительно «т.3» ) на 0.30%  и 0,37%  (от величины  дальности  до Солнца, равной для точки «т.3» 148,8млн.км (=149,6-0,8 млн.км)  приведёт к  ПОЯВЛЕНИЮ ОШИБКИ, вкравшейся в  ВЕЛИЧИНУ ПОПРАВКИ, равной  35%  и 90%) от величины текущего Солнечного ускорения (для станции), т.е «т.3»  как бы условно сместится вдоль графика относительных поправок (график тёмного цвета) из-за ошибочной дальности до Солнца в положение поправок, соответствующих  точкам  «т.2 » и «т.1», что приведёт к СУЩЕСТВННЫМ  ОШИБКАМ в поправках при расчёте траектории относительно реальной точной дальности, соответствующей дальности  «т.3».

   А вот в Земной СК благодаря меньшей дальности от межпланетной станции  та же  величина относительной ошибки в завышении дальности до станции на 0,37% от истинной приведёт к появлению дополнительной погрешности  поправки всего в  0.12% от ускорения Земли (график красного цвета). И только при  уж совсем невероятном завышении расчётной дальности до Земли  В ДВА РАЗА для точки «т.3» приведёт к ошибке в 74% от величины текущего земного ускорения.

    С учётом более существенного влияния точности определения текущей дальности в Солнечной СК желательно увеличить радиус «сферы действия», сместив его от точки  «т.3», в направлнии к точке  «т.4» и даже далее, поскольку расчёт траектории межпланетной  станции в Земной СК может быть продолжен и за пределами дальности «сферы Хилла», но уже при больших относительных величинах Поправок возмущения от Солнца , превышающих 100% от земного текущего ускорения для станции., что и подтверждает введение взамен «сферы действия» новой сферы  на ту же тему (перехода между расчётными траекториями в разных системах координат для межпланетных траекторий) с названием «СФЕРА  ВЛИЯНИЯ», отличающуюся лишь ещё большим значением её радиуса   

      Вот как «СФЕРА  ВЛИЯНИЯ» описана у  В.И.Левантовского:    «При использовании упрощённого метода расчёта космических траекторий основные погрешности накапливаются при расчёте движения в районе границы «сферы действия». Поэтому некоторые авторы считают, что для большинства случаев расчёта более высокие точности дают области разграничения между центральными полями тяготения, определяемые иначе, чем это сделано выше. Предлагалось, например, считать соответствующую область  вокруг Земли, имеющей радиус 3-4 млн.км.  На основании энергетических соображений для подобной «СФЕРЫ ВЛИЯНИЯ» выводился радиус, равный... »     (далее следует выражение для сферы влияния. (см. в книге.))

    Но и это ещё далеко не все факторы, которые могут быть приняты во внимание  баллистиками космических перелётов при выборе  величины  «сферы действия», например, можно учесть влияние на точность расчёта параметров траектории ограниченных характеристик бортового вычислителя.

    В книге В.И.Левантовского приведено  КОНКРЕТНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ для определения «СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ» для любых планет и дающее для Земли величину  0,925 млн.км.,  которая, как следует  из рис.2, лишь на 16% больше дальности для точки  «т.3» (с дальностью 0,8 млн.км. и на которой относительные величины поправок для обеих СК равны и составляют 10%), что обеспечивает  близкие между собой  значения относительных поправок от текущих  ускорения в Земной (16%) и Солнечной (8%) системах координат.

  Смысл введения понятий  «сфера действия» и «сфера влияния» стал понятен.

      Далее В.И. Левантовский приводит сравнительное описание «сферы действия»  и «сферы Хилла»:

« Единственный смысл понятия «сферы действия»  заключается именно в границе разделения двух кеплеровых траекторий  (рассчитываемых в разных системах координат, например, Земной и Солнечной *)примечание моё).   В частности, «сфера действия» планеты вовсе не совпадает с той областью пространства, в которой планета способна вечно удерживать свой спутник. Эта область называется «сферой Хилла»  для планеты относительно Солнца.  Внутри «сферы Хилла» тело может находиться неограниченно долго, несмотря на возмущения со стороны Солнца, если только в начальный момент оно имело эллиптическую планетоцентрическую орбиту. Эта сфера больше сферы действия.  «Сфера Хилла» для Земли относительно Солнца имеет радиус 1,5 млн.км.».

  Свои значения максимальной дальности удержания спутников на орбите Земли, являющихся такими же оценками, как и  «сфера Хилла»,  мы уже определили в начале этого комментария.

 Как мне кажется, получилось неплохое совпадение результатов оценки сферы удержания спутников Землёй: 1,50 млн.км. («сфера Хилла»),   1,60 млн.км (Задача «Трёх тел»)  и 1,68 млн.км (дальность безусловной потери спутников Землёй, т.е. верхнее ограничение на дальность удержания  спутников Землёй).

      И, наконец,  автор в деликатной форме высказал своё твёрдое отрицательное отношение к понятию «СФЕРА ПРИТЯЖЕНИЯ» (с чем и я полностью согласен):

«В отличие от «сферы действия» и «сферы Хилла»   «СФЕРА  ПРИТЯЖЕНИЯ» планеты относительно Солнца,  определяемая как область, на границе которой попросту равны гравитационные ускорения от планеты и от Солнца,  НЕ ИГРАЕТ НИКАКОЙ РОЛИ В КОСМОДИНАМИКЕ.

Луна находится глубоко в сфере действия Земли. Поэтому мы предпочитаем рассматривать геоцентрическое движение Луны и считать её спутником Земли.  И отказываемся считать Луну самостоятельной планетой ввиду слишком больших гравитационных возмущений её гелиоцентрического движения со стороны Земли.  Любопытно, что орбита Луны (см. «т.2») лежит вне сферы притяжения Земли («т.1» имеющей радиус притяжения примерно 260 000 км.), т.е. Луна сильнее притягивается Солнцем, чем Землёй».   

 *)примечания по номерам точек мои.

  А ведь именно критике такого подхода, учитывающего СООТНОШЕНИЕ СИЛ (и положенного в основупонятия «сферы притяжения»), действующих на тело, был, в основном, и  посвящён мой предыдущий комментарий (от 16.12.2019г)  по этому вопросу с привлечением закона притяжения и второго закона Ньютона.  Основной вывод этого комментария состоял с том, ПРИТЯЖЕНИЕ Луны Солнцем ВООБЩЕ ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ВЛИЯЕТ НА относительное ВРАЩЕНИЕ ЛУНЫ ВОКРУГ Земли при существующей на сегодня орбите Луны.  При анализе ещё  больших размеров орбит (для межпланетных станций)  необходим ТОЛЬКО ДОПОЛНИТЕЛНЫЙ УЧЁТ НЕОДНОРОДНОСТИ гравитационного поля от ускорения Солнцем в виде ВЕКТОРНЫХ ПОПРАВОК (ПРИРАЩЕНИЙ) этого ускорения для рассматриваемого тела относительно ВЕКТОРА этого же ускорения, рассчитанного для начала системы координат, в которой и рассчитываются траектория тела.  В  терминах математики эта ПОПРАВКА представляет  собой УЧЁТ ТОЛЬКО  ДИФФЕРЕНЦИАЛА (иначе Приращения) ОТ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ  Солнца относительно начала системы координат для  рассматриваемого тела  ВМЕСТО УЧЁТА ПОЛНОГО ВЕКТОРА этого же ускорения для тела.  А это, согласитесь,   далеко не одно и то же, так как величина силы  может быть большой и в то же самое время при этом обладать  почти нулевой скоростью векторного изменения своей величины при малом изменении расстояния до Солнца относительно полного расстояния до него, а значит и обеспечивать НУЛЕВОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОПРАВКИ от влияния этой силы, что и наблюдается в диапазоне дальности от низких орбит искусственных спутников Земли (в несколько сотен километров над Землёй)  вплоть до орбиты Луны относительно Земли (см.красный график на рис.2).

     Например, на расстояниях более, чем у  «сферы притяжения» с её  260 тыс.км  («т.1» на рис.2) УСКОРЕНИЯ от СОЛНЦА НАЧИНАЮТ ПРЕВЫШАТЬ УСКОРЕНИЯ от притяжения Землёй, достигая превышения в 2,2 раза на орбите Луны (см. параметр F=Fc/Fз  для точки «т.2» ) ,  что отнюдь не мешает Земле стабильно удерживать Луну на своей Земной орбите. И только в области максимальной дальности «сферы Хилла» (~ 1,5 млн.км.),  на границе которой сила притяжения Солнцем уже в ~34! раза превышает силу притяжения от Земли или даже ещё дальше:  на её теоретическоё оценке «сверху», т.е. в  «т.4» (где Солнце притягивает в  ~40,5раз сильнее, чем Земля), когда ПРИРАЩЕНИЕ от солнечного ускорения (а не его полное значение!) ПОЛНОСТЬЮ СКОМПЕНСИРУЕТ УСКОРЕНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ Земли,  земные спутники безусловно сойдут с орбиты вокруг  Земли  и станут спутниками Солнца.

    Всё вышеизложенное, а так же контрольные расчёты на полной модели «трёх тел», подтверждает  ПОЛНУЮ БЕСПОЛЕЗНОСТЬ  И  ОШИБОЧНОСТЬ (для понимания истинных причин  удержания планетами своих спутников) ПРИМЕНЕНИЯ  различных значений  «СООТНОШЕНИЯ СИЛ», учитывающих воздействие силы притяжения Солнцем.

    Пора подводить итоги рассмотрения пяти терминов «сфер» для планеты Земля:

Во-первых, прежде всего,   ОТМЕТИМ самую важную и, на мой взгляд, единственную из всех  вышерассмотренных «сфер», достойную общедоступного применения и упоминания  для всех планет Солнечной системы -   «Сферу Хилла»  как конкретную по смыслу и  значению, и  определяющей  радиус  ~ 1,5 млн.км. для планеты Земля,   внутри которого различные тела могут находиться неограниченно долго на орбитах вокруг планеты, несмотря на возмущения со стороны Солнца. Это действительно важная и необходимая характеристика для любой планеты!

   Расчёты значения этой же дальности «удержания», проведенные автором данного комментария,  полностью подтверждают эту величину «Сферы Хилла» применительно к планете Земля, которая равна  1.50 млн.км, видимо, с небольшим запасом в меньшую сторону.

    Определение этой же предельной дальности для Земли (с применением расчётов на полной задаче для «Трёх тел»)  дала максимум в 1,60 млн.км (при дальности в 1,61 млн.км спутники срываются Солнцем с орбит вокруг Земли). При этом на рис.1 определено ВЕРХНЕЕ ОГРАНИЧЕНИЕ на величину предельной дальности:  ~1,68 млн.км, которая  и является безусловным ограничением сверху на дальность удержания Земных спутников, приводящей к  безусловнойной  потере спутников Землёй, т.е. к их сходу  с относительной орбиты вокруг Земли на самостоятельные орбиты вокруг Солнца.

 Как мне кажется, можно было бы ввести в широкое употребление отечественный и понятный любому термин, например, «Сфера удержания спутников планетой» в противовес «Сфере Хилла», требующей обязательного разъяснений её смысла при первом знакомстве с этим термином. 

Во-вторых, для всех интересующихся проблемами космических полётов  (за исключением узких специалистов по космической динамике),  можно было бы объединить вместе вышерассмотренные «сферы» (  «сфера действия» и «сфера влияния»)  несмотря на существенно  разные величины их значений для Земли (0.925 млн.км. и 3-4 млн.км соответственно) как предназначенные для одной и той же  цели:  использования величины радиуса этих сфер  в качестве границы для стыковки двух «кеплеровых» траекторий, рассчитанных в разных системах координат при расчёте межпланетных траекторий полёта, где в зависимости от предпочтительного выбора какого-либо фактора,  влияющего на точность  расчёта траекторий, меняется и величина радиуса этих сфер в довольно широких диапазоне.    

   По моему,  вместо этих двух  «сфер» на одну и ту же тему и к тому же с весьма неудачными названиями («сферы действия тяготения», «сфера действия» и «сфера влияния»)  целесообразнее для широкого употребления общественностью (специалисты сами разберутся без нас с внутренним применением этих терминов) ввести  ОДНУ НОВУЮ СФЕРУ с понятным для всех читающих названием: «Сфера стыковки межпланетных траекторий», рассчитываемых в двух системах координат.  Иначе говоря, это сфера, по достижении которой к траектории межпланетной станции применяется «метод сопряжённых конических сечений» в связи с переходом расчёта траектории из одной системы координат в другую. Однако встаёт вопрос, а какое конкретное значение ей присвоить, исходя из разных радиусов этих сфер?

    Существующие же названия этих сфер для планеты («сфера действия тяготения», «сфера действия», «сфера влияния») невольно вызывают странные мысли о не бесконечном распространении силы гравитационного притяжения планеты в окружающем нас пространстве. 

    Немалый разнобой в величине  радиуса этих «сфер» (до 4 раз) несмотря на одно и то же их  предназначение  - стыковку траекторий, рассчитываемых в разных системах координат,  лишь свидетельствует о субъективном характере  выбора значений их радиусов, а потому эти «сферы», по-моему, и  не должны носить таких названий для планет, намекающих на какие-то ограничения  их гравитации  и ассоциирующиеся именно так  у подавляющего большинства читателей, поскольку сами названия не сообщают об их истинном и весьма скромном предназначении что-то где-то там поменять внутри компьютера в алгоритме расчёта траекторий!   Да какое же это имеет отношение к гравитации планеты, чтобы создавать столько разных впечатляющих названий «сфер», предназначенных для одного и того же применения?   Конечно, краткость – сестра таланта, но не до такой же глубины пропасти между названием термина с его узким предназначением и к тому же с подвижным значением величины радиуса.  

   Вот «сфера Хилла», например,  даёт действительно ценную информацию о гравитационных возможностях планеты по удержанию своих спутников!   А вышеупомянутые сферы лишь свидетельствуют о недоговорённости между собой специалистов по баллистике в величине радиуса этих «сфер».

  В-третьих,  в отличие от всех остальных сфер, рассмотренных выше,  «Сфера притяжения»  планеты относительно Солнца,  определяемая как область, на границе которой попросту равны гравитационные ускорения (а так же равны и силы, поскольку они приложены к одному и тому же телу) от планеты и от Солнца,  НЕ ИГРАЕТ НИКАКОЙ ПРАКТИЧЕСКОЙ РОЛИ В КОСМОДИНАМИКЕ (см. выше ссылку на книгу В.И.Левантовского, стр.71), а если сказать прямо и честно, не взирая на личности,   то  ЯВЛЯЕТСЯ не только БЕСПОЛЕЗНОЙ, а , с инженерной точки зрения,  ОШИБОЧНОЙ  И  ВРЕДНОЙ  как  способствующей поддержанию и распространению  ошибочного обывательского ЗАБЛУЖДЕНИЯ  О  ПРЯМОМ   ВЛИЯНИИ  СИЛЫ  ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ СОЛНЦА  НА ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ТРАЕКТОРИЮ ВРАЩЕНИЯ Луны вокруг Земли В ВИДЕ УЧЁТА так называемого «СООТНОШЕНИЯ СИЛ» (отношения силы притяжения  от Солнца к силе притяжения Землёй, равного единице для  «сферы притяжения»).

   А что самое печальное при этом, что СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ Солнцем  ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ОКАЗЫВАЕТ НИКАКОГО ВЛИЯНИЯ НА ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ТРАЕКТОРИЮ ВРАЩЕНИЯ Луны вокруг Земли как её не учитывай в любых числовых соотношениях, т.к. она лишь искривляет траектории полёта Земли,  Луны и их спутников с ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫМ УСКОРЕНИЕМ (от воздействия этой силы притяжения Солнца) до почти круговых орбит вокруг Солнца,  ПРАКТИЧЕСКИ  НЕ  ВЛИЯЯ  НА  ИХ ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ  траектории вокруг Земли  БЛАГОДАРЯ  ВЕСЬМА  ХОРОШЕЙ ОДНОРОДНОСТИ  ускорения от воздействия этой самой силы притяжения от Солнца в области сегодняшней орбиты Луны.

     Достаточно лишь напомнить о том, что   увеличение радиуса орбиты спутника Земли, например,   с  ~260 тыс.км («сфера притяжения»)  до 1,5 млн.км («сфера Хилла») сопровождается стремительным ростом величины «Соотношения сил» (отношения силы притяжения от Солнца  к силе притяжении от Земли)  с  1   до  34 (см. величину параметра F,  равному отношению силы притяжения от Солнца к силе притяжения от Земли для  выделенных точек на рис.2),  хотя  внутри «сферы Хилла» Земля, не взирая ни на какие большие величины «Соотношения сил» устойчиво удерживает все свои  спутники независимо от величины их массы, вплоть до Луны, что и  свидетельствует о полной бесполезности (или «Не играет никакой роли в космодинамике» - по В.И.Левантовскому) применения понятия «Соотношения сил».

   Фактически  СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ Солнцем начинает оказывать своё влияние на относительные траектории спутников Земли  только при больших радиусах их орбит, сравнимых с орбитой Луны и более, из-за  роста  неоднородности гравитационного поля ускорения от Солнца на траектории полёта спутников Земли,  НО ТОЛЬКО НЕ  НАПРЯМУЮ, А ЗА СЧЁТ ОДНОГО ПРИРАЩЕНИЯ  СВОЕГО  ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ на рассматриваемое тела (например, Луну)  относительно значения этого же самого  вектора ускорения в  начале применяемой системы координат, например, в  центре масс Земли для Земной СК, если в ней рассчитывается траектория Луны вокруг Земли.   А ведь ПРИРАЩЕНИЕ ОТ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ  и  ПОЛНАЯ ВЕЛИЧИНА ЭТОГО ВЕКТОРА, что эквивалентно применению термина «Соотношение сил (ускорений)»,   ведь не одно и то же, как не совпадает  в математике понятие о  дифференциале ( приращении)  силы   и  величине самой силы.

  В итоге, «Сфера притяжения» из всех рассмотренных «сфер» для планет, по моему твёрдому убеждению, вообще не имеет никакого права на своё существование как не только бесполезная, но и вредная по своей сути, искажающая в задаче «Трёх тел» реальную механику вращения тела относительно другого для малоподготовленных читателей из-за чисто формального рассмотрения величины «соотношения сил», при том, что величина этой силы притяжения от Солнца не оказывает никакого практического влияния  на относительное вращение Луны вокруг Земли при существующей орбите Луны.

P.S.      Что же, в итоге,  можно выделить и рекомендовать из рассмотренного изобилия «сфер», достойных  общедоступного упоминания  на просторах Интернета?  По «Гамбургскому счёту», только одну «сферу»  -  «сферу Хилла» и больше никаких других из вышерассмотренных так называемых «сфер», за серьёзными названиями которых нет единой величины радиуса «сфер», несмотря на одно и то же их предназначение.   Только «Сфера Хилла» представляет важную и конкретную по величине характеристику гравитационных возможностей планеты в условиях её подчинённого положения относительно  гравитационного поля звезды по имени «Солнце»  И ОПРЕДЕЛЯЮЩАЯ  МАКСИМАЛЬНЫЙ  ВОЗМОЖНЫЙ РАДИУС СФЕРЫ, внутри которой планета  может стабильно удерживать свои спутники от гравитационных притязаний Солнца по срыву спутников с их относительных траекторий вращения вокруг планеты.

   По моему скромному мнению, упоминание «сфер» с названиями  («сфера действия тяготения», «сфера действия» и «сфера влияния»), НЕ ОТРАЖАЮЩИМИ ИХ ОДИНАКОВОГО  РЕАЛЬНОГО ПРЕДНАЗНАЧЕНИЯ переходить из одной системы координат в другую при расчёте межпланетных траекторий, следует ограничить кругом специалистов их и предложивших для своих же расчётов. Либо раскрыть их истинный смысл, заменив их названия на более понятное: «Сфера стыковки межпланетных траекторий».    Видимо, только «солидность» названий  этих «сфер» и позволила им  закрепиться в умах  пользователей Интернета, поверивших в серьёзность их смысла и поставивших  их в один ряд с единственной и действительно важной для планет характеристикой - «Сферой Хилла».

В итоге, всё изобилие  названий гравитационных "сфер" для планеты Земля оказалось на удивление однообразным и малополезным для широкой публики в Интернете, несмотря на свои солидные названия.   

Однако,  Со Старым Новым Годом  и  новыми понятными названиями для «сфер»!

 До ближайшей  встречи на Лунных орбитах, поскольку на наших глазах разворачивается  уже не "киношная", а реальная гонка полётов человека на Луну. Определим параметры «сферы удержания спутников» для Луны.

 Георгий. 13.01.2020г. 17час.40мин время моск.

Уважаемый Георгий!

Ваша статья «Определение величины радиуса «сферы переключения межпланетных траекторий»при выводе космического аппарата на орбиту спутника Луны»настолько актуальна, что ее надо опубликовать в соответствующем научном жунале.

Ваше объяснение синхронизации вращения Луны несовпадением центра масс с геометрическим центром, безусловно, справедливо, но оно не единственное.

В астрономической литературе это явление объяснается более эффективным, дифференциальным действием притяжения. Ближайшая к планете сторона спутника притягивается к планете сильнее, чем противоположная. Это приводит к растяжению спутника, образованию выпуклостей с двух сторон: большей в направлении планеты и меньшей с противоположной. Движение спутника по орбите заставляет выпуклости всегда быть направлеными на(от) планету, то есть смещаться по телу планеты в сторону, противоположную освому вращению. Осевое вращение замедляется, пока ни становится равным периоду орбитального движения.

 Я расчеты не проводила, но, думаю, что вторая причина эффективнее первой. Синхронный спутник Юпитера Ио деформируется и поэтому разогревается так, что на его поверхности действует множество вулканов, а на синхронном спутнике Юпитера Европе – под ледяной поверхностью – жидкий океан.

 Ту же природу имеют приливы и отливы на Земле под действием дифференциального притяжения Луны.

Интересно, не проводили ли Вы расчеты. Желаю дальнейших успехов!

Уважаемая RMR_astra!

С Вашим первым утверждением я не согласен, но согласен с уважаемым Георгием, однако со вторым Вашим утвержденим по поводу Рогозина я полностью согласен. Хотелось бы согласиться с Георгием, но пока оснований для оптимизма мало. Однако еще есть время и, надеюсь, оно скоро наступит.

Уважаемая RMR_astra, большое спасибо за оценку моих заметок. В ближайшие дни Вас и всех читателей данного сайта  ждёт ещё одно небольшое, но весьма оригинальное и неожиданное для большинства читателей сообщение, связанное с расчётами траекторий аппратов очень близко подлетевших к Солнцу таких, например,  как зонд "Паркер", о существовании которого я ещё и пару недель назад ничего не знал.

 Выражаю Вам, RMR_astra,  БОЛЬШУЮ  БЛАГОДАРНОСТЬ за Ваше сообщение о зонде "Паркер"!

  Действительно, ПОРАЗИТЕЛЬНО  ИНТЕРЕСНЫЙ ПРОЕКТ, миссия которого позволит пролить свет на  не только на излучения Солнца (ну и каламбур), но и прояснить многие вопросы, связанные с механикой полёта тел в таких экстремальных близких условий пролёта у центральной звезды планетной системы и даже оценить многие интересные вопросы, связанные, например,  с формированием гравитацонного поля вокруг звезды (т.к. есть некоторые оригинальные теории по этому поводу) и многое чего другого.

    Обидно, что эти данные, наверняка,  не будут доступны всем нашим заинтересованным в этих вопросах учёным, а очень жаль. Упустили мы инициативу, превратившись в "извозчиков"  на МКС, вместо реализации по настоящему интересных космических исследований, прежде всего Луны и вот таких оригинальных запусков зонда к Солнцу...   Ну не нужны нам на сегодняшнем этапе развития никакие марсы и прочие безжизненные планеты вместе с безумными и авантюрными идеями их колонизации.   Пора начинать наводить порядок на самой Земле (хотя бы с мусором в океанах и в ближем космосе по расчистке от космического "мусора" на орбитах, пока ещё не поздно) и  начать в ближайшее время серьёзное освоение Луны,  на которую, уверяю Вас, ещё не ступала нога ни одного человека, ну а в американском шоу можно всякое показать, на это они мастера ...  Как бы не проиграть нам в этом возобновившемся соревновании прежде всего китайцам. Очень уж медленно и неуверенно раскачиваемся, отодвигая даты запусков всё дальше и дальше. Надо бросить все силы на освоение Луны - вот наша приоритетная задача на ближйшие десятилетия в космических программах, а не марсовые прожекты по поиску каких-то там следов бывших цивизизаций, от которых нам никакого проку нет на данном этапе развития космической техники.

  Я верю в Вас, Д.О. Рогозин.   Вы же патриот отечества!  Дмитрий Олегович, не подведите!   Пора всерьёз браться за Луну, ещё можно успеть!     Выполните мечту Сергея Павловича Королёва:      

В п е р ё д  ,  к  Л у н е !   П о к а ж е м   н а  ч т о   е щ ё  с п о с о б н а  Р о с с и я !

Георгий. 02.02.2020г 18ч.10мин. Время моск.

Уважаемый Георгий!

Используя небогатые исходные данные, Вы не только детально описали орбиту зонда Паркер и тонкости условий его встреч с Меркурием и Венерой, но и дали свою оценку рациональности орбиты этого космического аппарата. Большая, интересная и полезная работа.

   После первого комментария от 27.01.2020г. с исправленными треугольниками скоростей на входе и  выходе из «сферы» прочитал повнимательнее статью и решил поделиться своими соображениями с читателями о хитроумной  космической динамике траекторий зонда «Паркер", миссия которого состоит в изучении излучений от Солнца на рекордно близком растоянии от Солнца в перигелии его орбиты, начиная с ~27 млн.км до  ~7 млн.км к концу его миссии, за счёт совершения 24 оборотов вокруг Солнца по вытянутой эллитической орбите (с финальным афелием орбиты зонда  ~109млн.км, превышающим орбиту Венеры на на 1-2 млн млн.км ) на протяжении ближайших, предусмосмотренных программой полёта,  5,6 лет по овремени его основной миссии.

  Заметил, что сам рис.4  НЕ СООТВЕСТВУЕТ реальному соотношению скоростей  Космического Зонда «Паркер» (КЗП) и орбитальной скорости Венеры, равной 35,02 км/сек. Ведь на рис.4 скорость зонда изображена немного более высокой, чем скорость у Венеры, а на самом деле, как показали нижеследующие расчёты, скорость зонда ниже скорости Венеры на 40%.

     Для проверки реального значения скорости зонда "Пракер" в статье есть необходимые данные о скорости и расстоянии в перигелии зонда , приведенные в предпоследнем абзаце статьи: 

     «Таким образом, в результате 2-го гравитационного маневра 29 декабря КЗП приблизился в перигелии своей орбиты к фотосфере Солнца на  расстояние 18.7 млн. км, а его скорость увеличилась до 109 км/сек, что почти в 10 раз больше 2-й космической скорости для Земли.»

   Для этого воспользуемся известными соотношениями (см. книгу А.Рой «Движение по орбитам», издательство «МИР», Москва, 1981г. стр.96):

   V^{2  =}   G*(Mсолнца +Mкзп) * ( 2 / r  - 1 / a) ;                                                                   ...(4.36)

где:            G =  (6,6726±0,0005)*10^-11  H * м² * кг^-2;   -  гравитационная постоянная в законе притяжения;                                                                     

           Mсолнца=1,98885*10³⁰ [кг];  Mкзп – масса КЗП, которую  на фоне громады массы Солнца вообще бессмысленно рассматривать;

r – расстояние от зонда до ближайшего фокуса орбиты, в котором расположено Солнце в [м];

a – величина большой полуоси эллиптической орбиты зонда в [м];

Преобразуем выр. 4.36 для определения большой полуоси эллипса (a) траектории зонда с подстановкой вышеприведенных значений из статьи:

        r в перигелии зонда  = 18.7 млн.км   и     V в перигелии зонда = 109 км/сек;

a =  G*(Mсолнца +Mкзп)  *  r  /  (2*  G*(Mсолнца +Mкзп)  – r * V² ) ;

a = 6,6726*10^-11  *1 ,98885*10³⁰   * 18.7*10⁹ / (2 *1 ,98885*10³⁰  - 18,7*10⁹ * (1,09*10¹¹) ² ) = 57,45млн.км

Оценка большой оси эллиптической орбиты КЗП составила 2*a = 2*57,45  = 114.9 млн.км.

     Что с учётом величины радиуса орбиты Венеры, равной 108,208 млн.км, весьма похоже на правду ( см.рис.1 с траекториями полёта КЗП из статьи).

  Далее воспользуемся непронумерованным  выражением из книги, стоящим непосредственно перед выр. 4.37:

             (V в афелии)*(V в перигелии) =  G*(Mсолнца + Mкзп) / a = Const;  т.е. это постоянная величина для любой конкретной эллиптической траектории, отражающая связь её скоростей в афелии и перигелии  с величиной большой полуоси эллиптической орбиты.  Откуда найдем скорость зонда в АФЕЛИИ (в самой  дальней точки от Солнца)  её орбиты и соответственно самой малой из всех скоростей зонда:

V в афелии = G*(Mсолнца + Mкзп)  /  (a * V в перигелии);

V в афелии = (6,6726*10^-11  *1 ,98885*10³⁰) / (57,45*10⁹ * 1,09*10¹¹) = 21,19 км/сек.

   Как видим, скорость зонда в его афелии (21,19 км/сек)  меньше  орбитальной скорости Венеры (35,02 км/сек) и составляет ~60%  от её орбитальной скорости.

Найдём период вращения зонда на такой эллиптической орбите по выр. 4.26 стр.94:

T  =  2*¶ * ( a³ / G*(Mсолнца + Mкзп) )^1/2 ;

Tкзп =  2 * 3,1415 * ( (57,45*10⁹ )³ / (6,6726*10^-11  *1 ,98885*10³⁰) ^1/2  = 75,1045*10⁵[сек];

Tкзп [днях] = Tкзп [сек] / (60 * 60 * 24)[сек/в 1 дне]  =  75,1045*10⁵  / 86400  =  86,93 дня.

Период вращения планеты Меркурий вокруг Солнца составляет по данным Википедии 87,969 дней.

    Как видим, АВТОРЫ ПРОЕКТА космического ЗОНДА «Паркер» специально ПОДОБРАЛИ ТАКУЮ ВЕЛИЧИНУ БОЛЬШОЙ ОСИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ  ДЛЯ ЗОНДА, ЧТОБЫ  ПЕРИОД ВРАЩЕНИЯ ЗОНДА ПО НЕЙ ВОКРУГ СОЛНЦА СОВПАЛ С ПЕРИОДОМ ВРАЩЕНИЯ ПЛАНЕТЫ  Меркурий И ТЕМ САМЫМ  ИЗЯЩНО  ИЗБАВИЛИСЬ ОТ ВОЗМУЩАЮЩЕГО ВЛИЯНИЯ  Меркурия на траекторию зонда, ПОЛНОСТЬЮ ИСКЛЮЧИВ ВОЗМОЖНОСТЬ СБЛИЖЕНИЯ на близкое расстояние ЗОНДА с Меркурием за счёт  ОДИНАКОВЫХ ПЕРИОДОВ ИХ ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ Солнца. 

Когда зонд находится, например, в своей высшей точке орбиты в районе чуть выше орбиты Венеры на расстояния в 114,9 млн.км от Солнца, Меркурий в этот момент может находиться либо на противоположной стороне от Солнца, либо посередине между орбитой Венеры и Солнцем (смотря что предпочли выбрать авторы проекта «Паркер»),  не оказывая существенного влияния на траекторию зонда. В итоге,  зонд «Паркер» и планета Меркурий находятся на своих одинаковых по периоду обращения вокруг Солнца орбитах, сдвинутых, по фазе вращения друг относительно друга в диапазоне от  0 до180 градусов в зависимости от тго какую фазу их движения предпочли выбрать  авторы проекта.

    Избавившись от проблем с возмущающим влиянием Меркурия, авторы проекта, на мой взгляд,   создали себе так же довольно комфортные условия и для проведения коррекций скорости зонда ( т.к. сама коррекция минимальна по требуемым затратам топлива в силу минимальности скорости зонда в афелии и поэтому более эффективна при управлении положением зонда за счёт тяги корректирующего двигателя) в области высшей ветви орбиты зонда (его афелии  ~114,9 млн.км), которая оказалась весьма удачно расположенной немного выше орбиты Венеры с её радиусом 108,208 млн.км, что позволяет использовать выбор коррекции либо на восходящем, либо на нисходящем участке траектории зонда относительно траектории Венеры.     Авторы проекта и в этой ситуации с положением зонда относительно Венеры реализовали эффективное управление скоростью зонда в его афелии (а тем самым и его положением в перигелии относительно Солнца), привлекая себе на помощь ускорение от гравитационного притяжения зонда планетой Венера  за счёт включения тяги реактивного корректирующего двигателя только  для дополнительного направления зонда в требуемое положение  относительно "сферы" Венеры, которая затем и осуществляет основную  коррекцию по изменению величины скорости зонда своим "бесплатным", не требующим никаких новых затрат топлива,  притягивающим гравитационным ускорением.   

   Цитата из сообщения:

« Такой маневр запланировано произвести вблизи Венеры 7 раз.  Это даст возможность Космическому Зонду Паркер (КЗП) 24 раза облететь вокруг Солнца по спирали, подойдя на последнем витке в 10 раз ближе Меркурия, и проводить наблюдения в глубоких слоях короны в течение 900 часов.  Перед Новым, 2020 годом, 26 декабря, произведен 2-й маневр у Венеры. КЗП вошел в “сферу стыковки межпланетных траекторий”…»

Рассмотрим требования к выведению зонда в требуемое положение по отношению к "сфере" Венеры при проведении коррекции скорости зонда в требуемую сторону (увеличения или уменьшения скорости зонда).

   Если сравнить периоды вращения зонда и Венеры вокруг Солнца, то они составляют: ~87 и 224,7 дня соответственно, т.е. через каждые 2,6 оборота зонда (=224,7 / 87), расположение Венеры и зонда почти повторяется. За 24 планируемых витка зонда Паркер возникнет 24/2,6 = ~9  ситуаций  близкого пролёта  Венеры относительно  зонда. Эти близкие пролёты Венеры и было решено использовать разработчиками проекта  для 7 коррекций орбиты зонда в его афелии  для управления в итоге его минимальным (в перигелии) расстоянием от Солнца. При этом за счёт включения тяги двигателей зонд выводится в необходимое положение относительно набегающей на него более быстрой по скорости «сферы стыковки межпланетных траекторий» Венеры:  либо для  снижения («подтормаживания») скорости, либо для небольшого разгона  зонда в зависимости от требуемой величины  перигелии зонда вблизи Солнца.

   Отметим, что в связи с тем, что скорость зонда меньше, чем орбитальная скорость Венеры,  и составляет от скорости Венеры около  60,5% ( = 21.19 км/сек  /  35,02 км/сек) , т.е почти в два раза ниже.  Поэтому картинка на рис.4 в статье о встречи зонда со «сферой переключения межпланетных траекторий» Венеры, В КОТОРОЙ ЗОНД СМОГ БЫ  БЫТЬ ЗАТОРМОЖЕН ПО СКОРОСТИ должна была бы  выглядеть так, чтобы зонд оказался выставленным за счёт тяги корректирующего двигателя ВПЕРЕДИ перед быстро набегающей на зонд с правой стороны рис.4  СВОЕЙ ЛЕВОЙ ВЕРХНЕЙ ЧЕТВЕРТЬЮ «сферы» Венеры.  При этом рассматриваем вариант коррекции скорости зонда на восходящей ветви его траектории.  Только в таком относительном положении зонда можно за счёт притяжения его Венерой снизить у него скорость в его афелии, а, следовательно  и  в нижней части его орбиты, т.е. в его перигелии с целью его дальнейшего приближения к Солнцу.

  Если же зонд разместить (см. рис.4) перед ЛЕВОЙ НИЖНЕЙ ЧЕТВЕРТЬЮ «сферы» Венеры в момент его входа в "сферу"  (опять же при условии движения зонда по восходящей ветви его траектории), то зонд УСКОРИТСЯ. Точно также ЗОНД БУДЕТ ТОЛЬКО УСКОРЯТЬСЯ НА ВСЕХ "ДОГОННЫХ" КУРСАХ зонда относительно успевшей полететь перед ним «сферой» Венеры, т.е. в догонку за планетой зонд подвергнется некоторому притягиванию в сторону Венеры с увеличением его скорости и соответственно некоторому изменению её направления.

   Аналогично, можно рассмотреть коррекцию НА НИСХОДЯЩЕМ УЧАСТКЕ ТРАЕКТОРИИ ЗОНДА  относительно пролетающей чуть ниже Венеры. При этом влияние четвертей «сферы» сменится на противоположное, т.е. при попадании зонда в левую верхнюю четверть «сферы», набегающей на зонд,  будет происходить  разгон по скорости зонда, а при входе зонда в нижнюю четверть левой стороны набегающей "сферы" Венеры – снижение скорости у зонда. 

  Как видим, довольно сложным моментом при управлении величиной менее скоростного (по отношению к скорости планеты) зонда  ЯВЛЯЕТСЯ ТРЕБОВАНИЕ ПО СНИЖЕНИЮ СКОРОСТИ ЗОНДА за счёт его притяжения планетой.

Именно этот момент  вроде бы и изображён на рис.4.   Однако на нём показано другое нетипичное для данного зонда соотношение скоростей зонда и планеты, КОГДА СКОРОСТЬ ЗОНДА ВЫШЕ СКОРОСТИ ПЛАНЕТЫ. и поэтому вход в "сферу" на восходящем участке траектории зонда в нижнюю четверть левой стороны "сферы" приводит в обходу центра масс планеты с ЛЕВОЙ стороны (см. зелёную гиперболическую траекторию на рис.4), способствующей торможению скорости.  А вот если взять на этом же рис.4 скорость зонда меньше , чем у планеты, то зелёная траектория зонда относительно планеты обойдёт центр масс планеты уже С ПРАВОЙ стороны от него  и в итоге произойдёт дополнительный РАЗГОН зонда по скорости.

Реально снизить скорость зонда при ЕГО МЕНЬШЕЙ СКОРОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО СКОРОСТИ Венеры МОЖНО ТОЛЬКО ЛИШЬ ВЫВОДОМ САМОГО ЗОНДА ПЕРЕД ОДНОЙ ИЗ ТРЕБУЕМЫХ ДЛЯ ЭТОГО ЧЕТВЕРТЕЙ на набегающую справа на зонд  ЛЕВОЙ СТОРОНЫ «сферы» Венеры в зависимости от того, на каком участке траектории зонда осуществляется коррекция по его скорости (восходящем или нисходящем).  При этом требуется весьма точная коррекция по выводу зонда в требуемое положение по месту и времени, да и к тому же НАДО НАДО ИЗБЕЖАТЬ ПОПАДАНИЯ В ОЧЕНЬ ОПАСНЫЕ ТОЧКИ входа на "сфере" Венеры, расположенные в области  средней части "сферы" на стыке её четвертей, которые приводят к ПРЯМОМУ ПОПАДАНИЮ ЗОНДА  в Венеру.   В противовес торможению скорости, разгон по скорости зонда можно прозводить даже на догонных курсах, сразу после пролёта "сферы" Венеры без дополнительного риска прямого попадания зонда в планету.

     Вот и всё, что хотелось бы отметить о действительно очень интересном решении разработчиков космического зонда «Паркер». Есть чему удивляться, взирая на разнообразие всевозможных космических орбит искусственных зондов в окружающем ближнем космосе. 

Георгий. 30.01.2020г. 00ч.20мин. Время моск.

Обязательно посмотрим, постараясь заглянуть за облака.

Спасибо за информацию, отвлекающую от пессимистичного настроения.

На рис.4, восроизведённым автором данного сообщения из первоначального источника, была ДОПУЩЕНА ПЕРВОНАЧАЛЬНЫМИ АВТОРАМИ данного сообщения досадная ПАРА МЕТОДИЧЕСКИХ ОШИБОК В ТРЕУГОЛЬНИКАХ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ СКОРОСТЕЙ  (ниже добавлен исправленный вид рис.4 ), а пока попробуйте сами применить нажеследующее правило и  найти ошибки на рис.4 из первоисточника:

Предлагаю читателям весьма простое правило для определения НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТИ внешнего космического тела (в данном случае КЗП)  ПРИ ПЕРЕСЕЧЕННИ телом ГРАНИЦЫ "Сферы переключения межпланетных траекторий" как НА МОМЕНТ ВХОДА В  "СФЕРУ", так и на МОМЕНТ ЕЁ ПОКИДАНИЯ телом:  правило треугольников скоростей на границе "Сферы переключения межпланетных траекторий" планеты:

      НА ВХОДЕ  в сферу планеты с применением  треугольника скоростей,  ПРИБАВЛЯЕМ К ВЕКТОРУ ВХОДНОЙ "СОЛНЕЧНОЙ" СКОРОСТИ  тела (КЗП)   ОБРАТНЫЙ  (противоположно направленный)  ВЕКТОР ОРБИТАЛЬНОЙ СКОРОСТИ ПЛАНЕТЫ, получая при этом НОВЫЙ НАЧАЛЬНЫЙ ВЕКТОР СКОРОСТИ ВХОДА тела ОТНОСИТЕЛЬНО планеты (уже в "планетной" системе кординат),  А НА ВЫХОДЕ из сферы через "выходной" треугольник скоростей,  ПРИБАВЛЯЕМ К ВЕКТОРУ "ПЛАНЕТНОЙ" СКОРОСТИ ТЕЛА     ВЕКТОР ОРБИТАЛЬНОЙ (теперь уже "ПЕРЕНОСНОЙ") СКОРОСТИ ПЛАНЕТЫ и получаем при этом НАЧАЛЬНЫЙ ВЕКТОР СКОРОСТИ тела  уже в "СОЛНЕЧНОЙ" СИСТЕМЕ на момент покидания телом сферы планеты.

Геннадий  27.01.2020 6ч42мин Время моск.

Дополнение к предыдущему ответу от 19.01.2020.

   Внутреннее недоверие  к полученному мною результату полной независимости угла, под которым из центра масс Солнца  видно Землю и точку L4(L5),  равного  φ =60 град ,  от соотношения массы тела Земли к Солнцу дало свои реальные плоды.

    Для начала представил другой самый крайний практический случай из соотношения масс рассматриваемых взаимно вращающихся тел, когда массы двух тел равны друг другу. Это, например, может быть «двойная звезда»  из двух одинаковых по массе звёзд, вращающихся по одной и той же общей круговой орбите, и находящихся при этом только в одном возможном для этого случая устойчивом состоянии, когда звёзды расположены на противоположных точках диаметра общей круговой орбиты и догоняют друг друга, как, иногда,  собака пытается догнать свой хвост вращаясь на месте.  

   А теперь сразу становится ясно, что никакого угла в 60 градусов НЕ МОЖЕТ БЫТЬ  В ТАКОЙ СИТУАЦИИ для тел либрации типа L4 и L5, расположенных на противоположных точках диаметра этой же круговой орбиты, но этот диаметр, естественно, перпендикулярен диаметру, упирающемуся в обе звезды:  этакий вращающийся с постоянной угловой скоростью крест из 4-ёх тел: «L4 – первая звезда – L5 – вторая звезда», отстоящих друг от друга на  90 градусов по кругу.  Как видим этот симметричный крест можно вписать в квадрат, в вершинах которого расположены вышеназванные тела, а сам квадрат вписан в круг общей орбиты. При этом диагонали квадрата равны диаметру орбиты. В итоге, получили РАВНОБЕДРЕННЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ треугольник, опирающийся на две звезды с углами у основания в 45 градусов, вместо ожидаемых 60 градусов!  Если же построить такой треугольник с углом 60 градусов  относительно диаметра орбиты, то его вершина ВЫЙДЕТ за пределы круговой орбиты «двойной звезды»,  и тела L4 и L5 окажутся на кругу с гораздо большим диаметром, где орбитальная скорость для круговой орбиты должна быть НИЖЕ, чем у круговой орбиты двойной звезды, и эти точки начнут отставать от звёзд в своём круговом вращении из-за  МЕНЬШЕЙ угловой скорости,  поэтому нами они НЕ ДОЛЖНЫ РАССМАТРИВАТЬСЯ как точки возможной либрации тел, которые должны вращаться ПО ТОЙ ЖЕ ОРБИТЕ С ТОЙ ЖЕ ОРБИТАЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ рассматриваемых нами тел в виде двойной звезды.

   Выходит, что угол Лагранжа для точек тел L4 (L5) НА САМОМ ДЕЛЕ ЗАВИСИТ ОТ СООТНОШЕНИЯ МАСС ТЕЛ и изменяется от 60 градусов (для малого значения соотношений масс тел, например, типа  Земли к Солнцу, равного 0,000003,  до минимального своего значения в 45 градусов при максимально  возможном соотношении масс, равному 1 для двойных звёзд  с одинаковыми массами.

     Так почему же у меня в первом расчёте получился в чистом виде угол 60 градусов, совершенно не зависящий от соотношения масс тел ?

   Да всё оказалось очень просто. В процессе рисования расположения тел и положения Бар-центра передо мной всегда вставал вопрос: а НА КАКУЮ ОРБИТУ ПОМЕСТИТЬ ТОЧКУ  L4 (L5)?

   На самом деле есть  два круга орбит: первый - вокруг Солнца и второй – вокруг Бар-центра с МЕНЬШИМ ДИАМЕТРОМ, чем у Солнца в силу своего определения как лежащего МЕЖДУ Солнцем и Землёй в зависимости от соотношения их масс.

    Вы, наверное, должны были заметить моё неправильное высказывание, промелькнувшее  в одном из моих комментариев, о том, что точки L4, L5 вращаются скорее всего вокруг СОЛНЦА, а не вокруг Бар-центра. В этом была МОЯ БОЛЬШАЯ И РОКОВАЯ ОШИБКА, недостойная  инженера-механика.  Почему-то, решил, что более лёгкие тела должны вращаться относительно самого крупного тела – Солнца, а не Бар-центра, в котором и сосредоточена СУММА МАСС ВСЕХ  ТЕЛ РАСССМАТРИВАЕМОЙ системы (Солнца, Земли и тел L1-L5).   А ВЕДЬ, НА САМОМ ДЕЛЕ, ВСЕ ТЕЛА ВРАЩАЮТСЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ ТЕЛ, т.е. вокруг Бар-Центра.

     Как всегда, нашёл себе оправдание в этой ошибке. Дело в том, что довольно много размышляя о том, каким образом вращательное движение Солнце за счёт появления собственного вращения вокруг Бар-центра,  начинает сообщать ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСКОРЕНИЯ телам, вращающимся на Земной орбите, сначала вроде бы во внутреннюю часть орбиты Земли (в правом квадранте с точкой L4), а затем во внешнюю часть орбиты относительно Земной (в левом квадранте), где расположена точка L1, так увлёкся дополнительными ускорениями от Солнца, что стал думать как о самом собой разумеющемся превалирующем влиянии на тела L1-L5  орбиты относительно Солнца без учёта расстояния от Бар-центра.  Кстати, ведь вращение относительно Бар-центра вовсе не идеальное по кругу, а оно как бы задаёт основную орбиту всем телам относительно СУММАРНОЙ МАССЫ ТЕЛ СИСТЕМЫ, размещённой как бы условно в Бар-центре, а вот приближение точек Li, например, ближе к Земле вызовет повышенное влияние притяжения от Земли, которое станет носить характер ДОПОЛНИТЕЛНОГО  ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ относительно Бар-центра, как и ПОВЫШЕННОЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ влияние Солнца из-за вращения относительно Бар-центра в левом квадранте, где расположена точка L1, и из-за меньшего расстояния до Солнца относительно расстояния до Бар-центра.

    В итоге, а первом варианте рисунка  с ускорениями от Солнца и Земли поместил тело L4 на БОЛЬШУЮ орбиту, т.е.  орбиту относительно центра масс Солнца! И получил то, что заложил, ПОСТОЯНСТВО угла в 60 градусов НЕЗАВИСИМО ОТ СООТНОШЕНИЯ МАСС ДЛЯ ОСНОВНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ДВУХ ТЕЛ!

     А вот теперь, после понижения в высоте положения тела L4 c Солнечной орбиты на Барическую, как того и требует классическая механика, получу зависимость угла для точки L4 в максимально допустимом диапазоне от 60 до 45 градусов в зависимости от соотношения масс двух основных тел (пока вывод ещё не закончен). Да, слабоват разум, надо его почаще тренировать такими задачками как  точки L1-L5.  Попробую рассмотреть ещё и устойчивость точки L4 в направлении по линии «Солнце-L4» . Так что, срок опубликования  статьи пока отодвигается на несколько недель.

Геннадий. 22.01.2020. 20ч10мин. время моск.

Важное дополнение от 22.01.2020г по поводу моих некоторых ошибочных заключений:

Должен признать ОШИБОЧНОСТЬ СВОИХ замечаний по поводу НАПРАВЛЕНИЯ СИНИХ треугольников на цветном рис. Хилла (см. мой ответ от 09.01.2020) для точек L2 и L3: там нарисованы синие треугольники  СОВЕРШЕННО ПРАВИЛЬНО, т.е. крайние синие треугольники отчек L1 и  L3 должны быть действительно направлены в противоположную от Солнца сторону, как это и изображено на рис.

В чём состояла моя ошибка. Хотя я и сам отмечал, что скорости тел L1 L2 и L3 НЕ СООТВЕТСТВУЮТ нормальным величинам орбитальных скоростей для этих тел при их вращении по круговой траектории, которая должна была бы быть у этих тел, если  МЫСЛЕННО УДАЛИТЬ ЗЕМЛЮ. Но поскольку Земля есть, то она СВОЕЙ МОЩНОЙ ГРАВИТАЦИЕЙ ТАЩИТ ЗА СОБОЙ , как, например,  мать тянет упирающихся двух малых детей со своей скоростью,  и СООБЩАЕТ точкам L1 и L2  (а Солнце тащит точку L3 за счёт своего дополнительного вращения вокруг барицентра) такие дополнительные отклонения скорости относительно нормальных круговых, чтобы тела находились всё время на линии "Солнце-Земля". В этом, кстати, и состоит смысл направлений красных треугольников на этом рисунке, прижимающих все эти три точки с двух сторон к линии "Солнце-Земля".

Так вот, эти самые ВЕЛИЧИНЫ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ ДЛЯ ТЕЛ L1-L3 во вращательном движении относительно барицентра и ПРИВЕДУТ К ПОЯВЛЕНИЮ  ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ УСКОРЕНИЙ, направленных на ОТБРАСЫВАНИЕ ТЕЛ L1 L2 ОТ БАРИЦЕНТРА (а для тела L2, наоборот, из-за дополнительного ТОРМОЖЕНИЯ тела по скорости к дополнительному ЗАНИЖЕНИЮ ЦЕНТРОБЕЖНОГО УСКОРЕНИЯ).

А это означает , что у тел L1 и L3  появится дополнительные ускорения, направленные во внешнюю часть траектории, что ПОЗВОЛИТ для тела L3 СКОМПЕНСИРОВАТЬ ПРИТЯЖЕНИЕ от Земли и это приведёт к появлению ТАКОЙ ЖЕ ТОЧКИ НЕУСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ в НЕЙ (как и у точки L2 с другой противоположной стороны от Земли) на таком же расстоянии ~1,5-1,7 млн км.   А в L3 появится дополнительное ускорение, отбрасывающее тело L3  сторону от Солнца. Этого ускорения  у тела L3 никогда бы не было, если бы с противоположной стороны от Солнца отсутствовала Земля,  которая своим вращением вокруг Солнца  и приводит к появлению вращения у самого Солнца относительно барицетра и порождает точку нейстойчивости для тела L3!   

Как видите, сказав "А" о дополнительных ПРИРАЩЕНИЯХ СКОРОСТЕЙ для тел L1-L3, не смог тут же сказать "Б" и сообразить о появлении ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ УСКОРЕНИЙ  этих тел. В итоге, СООБЩЕНИЕ Землёй  и Солнцем ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОРБИТАЛЬНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ  СКОРОСТИ ТЕЛАМ  L1-L3 ТРАНСФОРМИРОВАЛОСЬ В ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ УСКОРЕНИЙ этих тел! Вот и вся премудрость этого эффекта!   Просто всё это довольно необычно и сразу не сообразишь...

P.S.    Кстати,  вывод формулы для угла точек L4 (L5) завершил (формула получилась весьма тяжеловесной и потребует применения графического метода решения для определния угла при параметрируемых значениях величины отношения массы планеты к массе Солнца) и она уже полностью подтвердила  ДВА КРАЙНИХ ЗНАЧЕНИЯ УГЛА для точек L4 (L5)  в  60 град и 45 град, соотвествующие  крайним зачениям соотношения массы планеты к массе Солнца: минимальному, почти нулевому значению,  и максимально возможному, равному 1 (например, как у двойных звёзд с одинаковыми их массами). 

 Геннадий. 21.01.2020 21ч00мин.  Время моск.