Лаборатория космических исследований

Ульяновская секция Поволжского отделения Российской Академии Космонавтики им. К. Э. Циолковского

Ульяновский Государственный Университет
Что сильнее притягивает Луну: Земля или Солнце?

 

 

 

Возможно, вы удивитесь, но Солнце притягивает Луну в 2,5 раза сильнее, чем Земля. И этот факт можно подтвердить простым расчётом, доступном школьнику.

Почему же тогда Солнце не отрывает Луну от Земли?

 

 

 

В теоретической космонавтике используется понятие сферы действия тела М1 относительно тела М2. Это область пространства вокруг тела М1, в которой третье тело m свободно движется в соответствии с задачей двух тел, а тело М2 оказывает только возмущающее действие на это движение. Оно выражается в том, что тело М2 стремится разорвать гравитационную связь между телами m и М1, придавая им разные ускорения ‑ соответствующие их расстояниям до М2. Внутри сферы действия тела М1 разность ускорений тел m и М1, сообщаемых им телом М2, меньше, чем ускорение тела m в поле тяготения тела М1. Поэтому тело М2 не может оторвать тело m от тела М1.

Пусть тело М1 – Земля, тело М2 – Солнце, а тело m– Луна. Простые расчеты показывают, что максимальная РАЗНОСТЬ ускорений Луны и Земли, создаваемых Солнцем, в 90 раз меньше среднего ускорения Луны по отношению к Земле.

Диаметр сферы действия Земли всего 1 миллион километров, но расстояние Луны от Земли еще меньше – 0,38 миллиона километров, т.е. Луна находится внутри сферы действия Земли относительно Солнца.

Поэтому Солнце не отрывает Луну от Земли, а только деформирует ее орбиту.

        В который раз удивляюсь живучести сайта Лаборатория космических исследований УлГУ. Сайт был создан двумя аспирантами (научный руководитель Виктор Михайлович Журавлев) более 12 лет назад для общения внутри самой лаборатории. Тогда сайты только начинались создаваться, поэтому никаких амбициозных планов на длительную перспективу не планировалось. Не было опыта по ведению сайта, поэтому тематика складывалась естественным методом проб и ошибок. За эти годы сайт вели различные сотрудники лаборатории.

     Сайт пережил несколько этапов подъёмов и спадов. И каждый раз, когда казалось, что сайт заканчивает свое существование (не было новых авторов и публикаций), в этот момент неожиданно появлялись новые участники, которые давали импульс жизнеспособности сайта. Число участников и просмотров страниц только увеличивается со временем: десятки стран и сотни различных городов по всему миру на всех континентах. 

      Талантливые творческие люди приходили на сайт и щедро делились своими идеями и проектами. Они все публиковали на нашем сайте свои знания и увлечения. Теперь новый участник сайта Георгий подхватил эстафету из рук нашего замечательного автора RMR_astra. Поразительно, что Георгий смог зарегистрироваться, когда уже не было свободной регистрации на сайте (только через личное обращение к админу сайта) и написал свой первый комментарий именно к статье RMR_astra. Мы только тогда узнали, что эта публикация набрала рекордное число просмотров и вернули ее на главную страницу сайта.

13.02.2020г

Определение величины радиуса «сферы переключения межпланетных траекторий»

при выводе космического аппарата на орбиту спутника Луны.

В предыдущем комментарии, опубликованном 27.01.2020, была произведена оценка величины радиуса «сферы удержания Луной своих спутников» (аналог радиуса "сферы Хилла" для Луны) которая составила  ~53000км, гарантирующей   удержание спутников независимо от фаз Луны, поскольку был взят за основу наихудший вариант для удержания спутников в фазе полнолуния Луны при минимальной дальности от Луны до Земли в 356 тысяч км.

 В данном комментарии определена для Луны величина радиуса «сферы переключения межпланетных траекторий» при подлёте к ней с целью выхода на орбиту её спутника. Аналогичный расчёт  был ранее проведен в комментарии по поводу «сфер», относящихся к планете Земля, от 28.01.2020.(см. Рис.2). Там же можно прочитать подробнее о методике расчёта относительных поправок от возмущающих факторов.  Ниже приведен Рис.1, построенный аналогично Рис.2 для Земли и посчитанный по той же методике, но уже применительно к Луне.

 На Рис.1 приведены относительные доли поправок от «возмущающего» притяжения Земли (=dgз – красная кривая) при расчёте траектории Лунного Космического Аппарата (ЛКА) в Лунной Системе Координат (СК) и в Земной СК, когда «возмущающим» фактором является, наоборот, учёт приращения от притяжения Луной (=dgл – зелёная кривая) при подлёте аппарата к ней. В соответствии с ранее описанным принципом равенства долей от возмущающего фактора для одного и того же тела, но рассчитанных в разных системах координат на границе, равной радиусу «сферы переключения», это будет дальность до точки т.3 на Рис.1, которая определяет это расстояние в ~48 тыс.км от центра масс Луны. 

   С учётом фактической разницы в значениях для радиуса "сферы", получаемых из  формулы и из графического решения для точки "т.3" (когда совпадают величины долей возмущающих факторов в разных системах координат),  которая для  «сферы переключения» планеты Земля (равного 0,929 млн.км(по формуле) /  0,800 млн.км (по графику рис.2 в т.3))  в относительном виде составила 1,16 ( т.е. 16% завышение радиуса по формуле относительно дальности точки "т.3"). Применим  величину этого же поправочного множителя и для Луны. Тогда  Rсферы Луны: 48тыс.км*1,16=55,7 тыс.км, или  ~ 56 тыс.км.   Как видим, радиус «сферы удержания спутников» в ~ 53тыс.км (см. предыдущий комментарий от 27.02.2020) и радиус «сферы переключения межпланетных траекторий»(~56 тыс.км) для Луны весьма близки. В то время как для Земли они отличаются в ~1,6 раза, т.е. 1,5 млн.км (дальность удержания, «сфера»Хилла)  и  0,929 млн.км («сфера переключения» по общепринятой формуле для неё).     Вызвано всё  это гораздо большей относительной величиной соотношения  масс Луны и Земли относительно величины соотношения масс Земли и Солнца. Поэтому и диапазон изменения соотношения сил притяжения Земли к Луне составил всего ~3,3 раза на границе удержания спутников для Луны (см. параметр Fз/л для точки "т.4"), вместо ~ 40 раз для аналогичной точки "т.4" для Земли (см.Рис.2 комментария от 28.01.2020).

   Отметим, что дальность до точки "т.4" (~59 тыс.км) уже была ранее определена на Рис.1 в предыдущем комментарии от 27.01.2020, а здесь, на рис.1 этой  же точке соответствует величина возмущающей поправки  в 100% от ускорения притяжения тел Луной в явном виде, когда приращение ускорения от «возмущающего» фактора Земли сравнивается по величине с ускорением от притяжения основного тела (Луны), тогда и  выполняется условие для гарантированной потери Луной своего спутника.

   Если рассмотреть радиусы орбит спутников с одинаковой долей неоднородности от возмущений, характерной, например, для Луны на её орбите относительно Земли (не более 1 %  возмущения от притяжения Луны Солнцем при среднем радиусе орбиты Луны  ~380 тыс.км), то аналогичный радиус (при том же уровне возмущения не более 1% от Земли относительно основного ускорения Луны)   для СПУТНИКОВ  Луны  составляет порядка  ~13 тыс.км. (см. выше рис.1 красная кривая).

  Кстати, низкие орбиты спутников, проходящие на высоте в несколько десятков километров над поверхностью Луны, подвержены влиянию только неравномерности гравитационного поля Луны и позволяют путём точного измерения высоты пролёта спутника над поверхностью Луны (конечно, с поправками на местные холмы и горы рельефа Луны) за счёт многих оборотов  весьма точно определить реальное положение центра масс Луны относительно его средней сферической поверхности (своего рода, уровня океана, имеющегося у Земли, и которого, к сожалению, нет у Луны).   

    Определение величины эксцентриситета в положении центра масс Луны относительно геометрического центра её сферы позволит тем самым объяснить причину синхронизации периода вращения Луны вокруг собственной оси с её периодом вращения вокруг Земли, поскольку Луна повёрнута всегда одной и той же стороной к Земле именно из-за наличия такого эксцентриситета вследствие неравномерного распределения масс разной плотности по объёму её сферы.          

     Объяснение синхронному вращению Луны даёт так называемый "гантельный эффект".  Если вывести на орбиту планеты удлинённое тело в разнесёнными массами на его концах (типа дополнительно вытянутой гантели), то горизонтальное положение гантели на орбите, параллельное нижележащей поверхности планеты (местному горизонту) будет НЕУСТОЙЧИВЫМ положением равновесия, которое будет нарушено при небольшом угловом уходе от этого положения, например, из-за кажущегося вращения гантели относительно планеты, поскольку гантель стремится сохранить неподвижным своё положение в пространстве относительно звёзд, а местный горизонт вращается относительно гантели с угловой скоростью вращения спутника вокруг планеты.   А вот ВЕРТИКАЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ГАНТЕЛИ  к местному горизонту, т.е. разворот продольной оси гантели на центр притяжения планеты, когда одна из половин разнесённой массы тела находится ближе к центру притяжения планеты, чем другая половина, является УСТОЙЧИВЫМ ПОЛОЖЕНИЕМ РАВНОВЕСИЯ за счёт разницы в силах притяжения для каждой из половин гантели (из-за разного расстояния до центра притяжения планеты при одинаковых плечах для половинных масс гантели  относительно их общего центра масс гантели) при любом угловом отклонении от вертикального положения возникает ненулевой стабилизирующий момент от этой пары сил,  разворачивающий  продольную ось гантели, проходящую через центры двух её разнесённых масс, по направлению на центр притяжения планеты.

    По той же причине возникнет внутренний момент стабилизации и у Луны, если у неё есть такой эксцентриситет (смещение) положения центра масс Луны относительно её геометрического центра сферы.  В итоге, эсцентриситет центра масс Луны вызовет появление момента, стабилизирующего положение внутренней линии в теле Луны (направленной от положения реального центра масс Луны на геометрический центр её сферы) по направлению на центр масс Земли.  Иначе говоря, Луна станет вынужденно поворачиваться к Земле своим более высоким по удельному весу вкраплением внутри её тела, смещённым относительно геометрического центра её правильной сферы.  Если бы внутреннее распределение масс было симметричным по радиусу во все стороны относительно её оси симметрии, то причин для возникновения такого момента бы не было и период собственного вращения Луны вокруг своей оси  мог бы быть каким-то другим, отличным от существующего на сегодня,  и тогда бы мы могли периодически лицезреть  обратную сторону Луны ( и "Гюльчатай (Луна), открыла бы нам своё и второе, невидимое личико."), которое сейчас наблюдает и исследует лишь один шустрый китайский "нефритовый заяц".   ("Ну, заец, погоди!", прилёта нашего Волка).  Кстати, таких спутников, как Луна, обращённых своей одной стороной к своей планете, в нашей Солнечной системы не мало, поинтересуйтесь сами. Видно не так просто было природе создавать тела с практически идеальной симметрией  распределения внутренних масс относительно оси её симметрии.

 P.S.  Теперь, уважаемые читатели, отслеживая информацию о радиусах орбит лунных космических аппаратов Вы знаете, по крайней мере, что максимальный допустимый радиус орбиты для «лунников» реально не будет превышать 59 тыс.км, радиус "сферы переключения межпланетных траекторий" составляет ~ 56 тыс.км, а орбиты лунного космического аппарата, практически не подверженные воздействию возмущений из-за неоднородности гравитационного поля Земли, должны иметь радиус менее ~13 тыс.км. 

Георгий. 13.02.2020г  22ч10мин время моск.

Уважаемый Георгий!

Ваша статья «Определение величины радиуса «сферы переключения межпланетных траекторий»при выводе космического аппарата на орбиту спутника Луны»настолько актуальна, что ее надо опубликовать в соответствующем научном жунале.

Ваше объяснение синхронизации вращения Луны несовпадением центра масс с геометрическим центром, безусловно, справедливо, но оно не единственное.

В астрономической литературе это явление объяснается более эффективным, дифференциальным действием притяжения. Ближайшая к планете сторона спутника притягивается к планете сильнее, чем противоположная. Это приводит к растяжению спутника, образованию выпуклостей с двух сторон: большей в направлении планеты и меньшей с противоположной. Движение спутника по орбите заставляет выпуклости всегда быть направлеными на(от) планету, то есть смещаться по телу планеты в сторону, противоположную освому вращению. Осевое вращение замедляется, пока ни становится равным периоду орбитального движения.

 Я расчеты не проводила, но, думаю, что вторая причина эффективнее первой. Синхронный спутник Юпитера Ио деформируется и поэтому разогревается так, что на его поверхности действует множество вулканов, а на синхронном спутнике Юпитера Европе – под ледяной поверхностью – жидкий океан.

 Ту же природу имеют приливы и отливы на Земле под действием дифференциального притяжения Луны.

Интересно, не проводили ли Вы расчеты. Желаю дальнейших успехов!

Уважаемая RMR_astra! 

   Поскольку  я небольшой знаток космических проблем и литературы на эту тему, то и моя версия с эксцентриситетом без учёта эффектов деформации тел уж и  не знаю, как появилась у меня, скорее всего где-то прочитал в своё время.  Упомянутый Вами эффект дифференциального действия мне кажется  не совсем подходящим именно для Луны как скорее уже довольно "старого" и остывшего тела, хотя вроде бы и наблюдали на ней некоторые признаки вулканических извержений (а может это были световые и пылевые эффекты от больших звездолётов инопланетян?).   Возможно, что у Луны могла сформироваться некоторая эллипсность  ("вытянутость") в поперечном сечении ещё в её молодом возрасте, когда поверхность была более подвижна и пластична.

  В обоснование моей версии о Луне привожу скриншот и цитату из Википедии из раздела "Селенология" (https://ru.wikipedia.org/wiki/Луна):

 "Любопытно, что центр масс Луны располагается примерно в 2 км от геометрического центра по направлению к Земле."   

  Конкретно для Луны имеет место именно смещение центра масс из-за её асимметрии расположении больших более плотных областей масс по её объёму, о чём свидетельствует и рис о гравитационной аномалии на поверхности Луны, где показано 5 крупных областей тёмно-красного цвета с повышенной гравитационной аномалией ("масконы"- от "mass concentracion") на видимой стороне Луны, чего нет в таком же заметном виде на обратной стороне, а есть, наоборот, области тёмно-синего цвета с пониженной гравитацией.  Если бы для Луны наблюдалось влияние упругого изменения формы тела в поперечном сечениии в направлении к Земле, то оно сопровождалось бы изменением только формы сечения (из оружности в эллипс), при изменении которой практически не происходит смещения центра масс относительно геометрического центра фигуры (точно так же как, например, и у симметричной гантели нет смещения центра масс относительно её геометрического центра), а у Луны есть смещение центра масс на 2 км, что лишь свидетельствует об аномальном распределении масс Луны с различной плотностью. 

   Упомянутое Вами объяснение за счёт появления эксцентриситета вследствие упругих деформаций, на мой взгляд, больше подходит для спутников с наличием больших жидких морей, как, например, у Земли. Тогда на ближайшей стороне к планете образуется выпуклость жидкой поверхности океана в сторону планеты, а на противоположной, как ни странно, также  образуется точно такая же выпуклость, появление которой многие не могут объяснить. А всё очень просто. Ведь ускорение спутника к притягивающей его планете приложено в его центре массы, а его передняя половина, обращённая к притягивающей планете в своих верхних слоях испытывает чуть БОЛЬШЕЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ускорение притяжения от планеты, чем его собственный центр массы из-за разницы в расстояниях до притягивающего центра масс планеты. А вот обратная сторона спутника, по той же причине (из-за разницы в расстояниях), испытывает почти такое же по величине УМЕНЬШЕНИЕ ускорения притяжения к планете относительно основного ускорения центра масс спутника за счёт БОЛЬШЕГО расстояния до планеты относительно  центра масс спутника. В итоге из-за заметной "неоднородности" поля притяжения планеты, передняя половина спутника, обращённая к планете, дополнительно ускоряется относительно своего центра масс спутника, а его противоположная, тыловая, половина, наоборот, дополнительно отстаёт почти на ту же самую величину по ускорению относительно основного ускорения центра  масс спутника, и  поэтому точно также повышает на ту же величину свой уровень океана из-за отставания "местного тылового" ускорения.  Вот и образуется своеобразная симметричная эллипсность поверхности океана с двумя одинаковыми «горбами» в поперечном сечении в плоскости орбиты спутника,  которая  направлена своей несколько большей полуосью на  центр масс притягивающей планеты.  На ваш вопрос о расчётах могу сообщить, что проводил лишь расчёт разницы в ускорениях для крайних точек Земли из-за притяжения Луной. Результаты расчётов совпали с сответствующими данными из энцикопедии и даже обнаружилась незначительная и непринципиальная неточность в статье.  

  Воздействием этой заметной "неоднородности" гравитационного поля по диаметру спутника (или планеты), наиболее проявляющейся только при повышенном отношении диаметра рассматриваемого тела к расстоянию до притягивающего более массивного тела, объясняются многие эффекты, например, постепенное увеличение периода вращения тела (увеличении длины суток в часах) из-за сил трения, тормозящих вращение тела, при эволюциях  приливных «горбов» по поверхности океанов. Можно упомянуть и о появлении описанного ранее мною эффекта "гантели" за счёт эллипсности поверхности океана, приводящего к затягиванию в синхронизацию периода собственного и орбитального вращений рассматриваемого тела. И хотя  "гантель" и состоит из воды, но она всё-таки вязкая и обладает небольшими силами трения.

   Кстати, также именно этой разницей в ускорениях в крайних противоположных областях рассматриваемого тела относительно притягивающей планеты, объясняется появление опасной для тела пары сил, стремящейся оторвать крайние части тела спутника друг от друга (разорвать его напополам), вплоть до вполне возможного его разрушения при опасном постепенном сближении с планетой, или Солнцем. из-за резкого нарастания "неоднородности" (разности) ускорений притяжения в крайних точках диаметра тела спутника относительно направления на центр притяжения планеты. Вспомнил впечатляющие кадры полуразвалившейся Луны  в небе Земли, по моему, из фильма "Интерстеллар".

   Конечно же, при наличии  заметных деформаций формы тела спутника под действием этой пары "разрывающих" сил гораздо эффективней, чем воды океанов с их жидким трением, и приведут в появлению "стабилизирующего" момента, препятствующему собственному вращению спутника и даже к его "разогреву" из-за выделения тепла при механической неупругой деформации тела.  Правда, выделение тепла характерно, по-моему,  только для этапа предшествующего появлению устойчивой синхронизации, когда тело спутника интенсивно "разминается и замешивается" подобно тесту. Однако после входа в режим устойчивой синхронизации деформированное состояние тела как бы "заморозится" и выделение тепла резко снизится.  (В связи с выделением тепла, вспомнил впечатляющие кадры из  документального фильма о добыче руды в открытых карьерах и задымлении от саморазогрева покрышек из-за их знакопеременных деформаций  у гигантских карьерных самосвалов ("Белазов"), перевозящих несколько сотен тонн породы за один рейс.  Однако, информации об  оценке величин возможной деформации, например, Луны, у меня нет, и поэтому надо дожидаться соответствующих оценок от специалистов (в области упругих состояний тел), а к таковым я не отношусь.

  Главное, чтобы наши читатели узнали о многообразии вариантов причин, объясняющих это довольно интересное явление и поняли, что это не какое-то там удивительное, случайное и  редкое совпадение периодов собственного и орбитального периодов вращения спутника, а вполне объяснимое и часто встречающееся  в космосе явление, которое может быть вызвано совокупностью разных причин, приводящих к  асимметрии в поперечном сечении вращающегося тела в направлении на центр масс планеты, притягивающкй  к себе спутник и заканчивающейся в итоге одним и тем же результатом - поворотом спутника одной своей стороной к планете при достижении небольшой, предшествующей этому моменту синхронизации,  скорости  вращении спутника вокруг собственной оси.

Георгий. 17.02.2020 23ч.30м время моск. 

Уважаемый Георгий!

С интересом прочла Вашу последнюю статью. Со всем согласна. Приливы и отливы наблюдаются на Земле и в океанах, и, несравненно меньшей амплитуды, на суше. На Луне из-за наступившей синхронизации  выпуклости не смещаются, поэтому Луна имеет яйцеобразную форму.

Я совершенно с Вами согласна, что одновременно действуют и оказывают влияние разные явления. Следующая цитата полнее объясняет причины разогрева Ио.

«В настоящее время наиболее вероятным энергетическим источником вулканизма на Ио считают приливный разогрев недр спутника. Как и большинство спутников в Солнечной системе, Ио обращается вокруг Юпитера синхронно, т.е. период осевого вращения спутника равен периоду его обращения вокруг планеты. Ио находится на орбите близко расположенной к Юпитеру, в результате чего образуется приливной горб величиной в несколько километров. Небольшой эксцентриситет орбиты (0,004) приводит к явлениям, аналогичным либрациям Луны в процессе ее вращения вокруг Земли. Одновременно, под влиянием соседних Европы и Ганимеда возникают возмущения эксцентриситета орбиты, что вызывает периодические изменения амплитуды приливных деформаций в коре Ио. Такая постоянная пульсация предположительно тонкой коры (толщиной не более 20 - 30 км) обеспечивает энерговыделение, достаточное для расплава недр спутника, что и выражается в интенсивной вулканической активности» (В.В.Шевченко «Наша уникальная Солнечная система»).

Это дополнительные данные  к комментарию "А не многовато ли будет разных "сфер" (...) для планеты Земля?" от 23.01.2020г

 Привожу данные  по оценке  радиуса  «Сферы удержания спутников» для Луны.  Для этого были найдены дальности безусловной потери Луной своих спутников в трёх положениях относительно Земли:   её перигее (соответствующему полнолунию), апогее (соответствующему новолунию) и на среднем расстоянии  (в первой и третьей четверти фаз Луны), рассчитанные графически на  Рис.1 и Рис.2 с применением метода приращений при учёте возмущающих ускорений от Земли и Солнца (см. методику определения Приращений от гравитационных возмущений в начале упомянутого комментария при определении аналогичного радиуса сферы для планеты Земля на рис.1).

 

Рис1. Рисунок с гравитационным ускорением от Луны в момент её перигея (в полнолуние) при расстоянии от Луны до Земли 356 тыс.км.,  а также с возмущающими приращениями от ускорений притяжения  Земли и Солнца в зависимости от расстояния до центра масс Луны.

 

Рис2. Рисунок с гравитационным ускорением от Луны в момент её апогея (в новолуние) при расстоянии от Луны до Земли 407 тыс.км.,  а также с возмущающими приращениями от ускорений притяжения  Земли и Солнца в зависимости от расстояния до центра масс Луны.   Зелёным цветом приведены данные для 1 и 3 четвертей фаз Луны, т.е. среднего расстояния от Луны до Земли в 384,4 тыс.км.

 

Как следует из рис.1 и рис.2  Радиус удержания (а точнее, радиус безусловной потери спутника Луной) существенно  зависит от положения Луны относительно Земли из-за изменения расстояний в апогее и перигее Луны относительно Земли. Влияние возмущений от притяжения Солнцем малозаметно и им можно практически пренебречь:  от 0,33% (в полнолуние),  0,48% (в 1-3 четвертях)  до 0,53% (в новолуние) от величины ускорения Луны на соответствующих радиусах удержания спутников.  А сами значения радиусов безусловной потери спутников Луной составили соответственно  ~59 000 км (в полнолуние) ,  ~64 500 км (в 1-3 четверти) и  ~ 68 000 км (в новолуние) (см. рис.1 и рис.2).    Выбираем наименьшее из этих значений как верхнюю оценку значения для радиуса удержания  ~59 000 км, гарантирующую удержание спутника НЕЗАВИСИМО ОТ ФАЗ ЛУНЫ

   Кроме того, с учётом того факта, что величина  безусловной  потери Землёй своих спутнков  (~1,68млн.км, см.рис.1 вышеупомянутый комментарий от 23.01.2020г ) как оценка сверху завышена относительно величины радиуса сферы Хилла для Земли (~1,5млн.км)   на  ~12% , то и для Луны возьмём этот же % запаса  для  получения величины безусловного радиуса удержания искусственных спутников Луной независимо от её фаз относительно Земли:    59 000км / 1,12 = 52 700  =  ~53000км. 

    Как видим, оценка величина радиуса «сферы удержания Луной своих спутников» (аналог радиуса сферы Хилла для Луны)  составила ~53000км. 

 

Георгий. 27.01.2020 13ч25мин Время моск.

 

На сайте сделаны небольшие изменения. В некоторых материалах убрана строка Закреплять вверху списков. Из-за этого изменился порядок расположения материалов, но все они остались на главных страницах, которых, правда, набралось уже 118. Материалы упорядочены по дате выставления на сайт на главных страницах, а также в разделе Проекты и Знание- Сила.

Статьи, к которым написаны комментарии в настоящее время, наоборот, выставлены выше других на первое место на главной странице.

Приятно удивило, что материал RMR_astra  Что сильнее притягивает Луну: Земля или Солнце?, написанный несколько лет назад, привлек внимание и свежий взгляд нового участника сайта Георгия.  Видимо, данная информация заинтересовала многих, если число просмотров оказалось свыше 45 тысяч.

  А не многовато ли будет разных «сфер»  (действия, влияния, притяжения, и «Хилла») для планеты Земля?

    В одном из последних комментариев к вопросу «О том, что сила притяжения Луны к Солнцу больше в 2,2 раза, чем к Земле» есть  ссылка на статью:  К.В.ХОЛШЕВНИКОВА «Луна - спутник или планета?»  (http://www.astronet.ru/db/msg/1167143 ), заинтриговавшая своим неординарным названием и с рассмотрением трёх гравитационных «сфер» для планеты Земля.  Мне как инженеру-механику по динамике полёта, далёкому от космических дел, такое изобилие понятий о «сферах» вокруг Земли показалось избыточным и захотелось разобраться в них и понять их предназначение. 

   В предыдущем комментарии по вопросу «Так почему Луна вращается вокруг Земли, если сила притяжения её Солнцем в 2,0-2,5 раза больше силы притяжения Луны к Земле?» было показано с позиций Закона притяжения тел и второго закона Ньютона, что из двух действующих на Луну сил (сил притяжения к Солнцу и к Земле)  МОЖНО ПРАКТИЧЕСКИ НЕ УЧИТЫВАТЬ ВЛИЯНИЕ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ  Луны к Солнцу НА ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ТРАЕКТОРИЮ ВРАЩЕНИЯ Луны вокруг Земли благодаря высокой ОДНОРОДНОСТИ ПОЛЯ от этой силы при существующих размерах орбиты Луны.   При этом для получения более точных расчётов в Земной инерциальной системе координат необходимо ВМЕСТО СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ  от Солнца УЧИТЫВАТЬ ЛИШЬ ЕЁ ВЕКТОРНЫЕ  ПРИРАЩЕНИЯ (метод ПОПРАВОК, или ПРИРАЩЕНИЙ) относительно  вектора силы притяжения в центре Земной системы координат, что позволяет УЧЕСТЬ ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ векторного ПОЛЯ ПРИТЯЖЕНИЯ  от Солнца на движение Луны вокруг Земли.   Далее, в соответствии со вторым законом механики, вместо величин сил используем только  соответствующие им ускорения тел (как принято у инженеров-механиков при расчёте динамики полёта тел).

   Для начала оценим максимальное расстояния Луны от Земли, на котором Земля ещё способна удерживать Луну (да и любое  материальное тело, независимо от величины его массы) на своей орбите в качестве своего спутника.  Понятно, что достаточным условием схода Луны или любого спутника с орбиты Земли будет такое максимальное расстояние от Земли, при котором  вышеупомянутое ПРИРАЩЕНИЕ ОТ УСКОРЕНИЯ СОЛНЕЧНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ относительно центра масс  Земли (за счёт того, что Луна будет находиться ближе к Солнцу, чем Земля) сравняется с ускорением притяжения от Земли, т.е. произойдёт КОМПЕНСАЦИЯ ускорения притяжения Земли приращением ускорения от Солнца (ускорения  противоположно направлены)  и Луна сойдёт с орбиты вокруг Земли на самом близком к Солнцу расстоянии (в её «новолуние» относительно Земли), двигаясь в начале схода по касательной к уже бывшей своей орбите относительно Земли.

 На  рис.1 показан график изменения гравитационного ускорения от Земли (gЗемли – тёмного цвета) и график  ПРИРАЩЕНИЯ ускорения от Солнца относительно Земли  (dgС-З – красного цвета), в зависимости  от расстояния R (от центра масс Земли по оси абсцисс, направленной к центру масс Солнца).

     Как видим,  приращение ускорения от Солнца  применительно к Земной системе координат(СК),   начинается с нуля в центре масс Земли в полном соответствии с общепринятым МЕТОДОМ ПРИРАЩЕНИЙ, когда вектор ускорения притяжения от Солнца, рассчитанный  для начала применяемой СК, расположенной, в данном случае, в центре масс Земли, ВЕКТОРНО ВЫЧИТАЕТСЯ из своего же значения В  ЦЕНТРЕ  СК (поэтому-то  и ВСЕГДА получаем НУЛЬ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ  МЕТОДА ПРИРАЩЕНИЙ в начале принятой для расчётов СК),  но одновременно этот же самый вектор от Солнца, определённый для начала СК,  опять же векторно (с учётом трёхмерности СК) вычитается и из ТЕКУЩЕГО значения вектора УСКОРЕНИЯ от Солнца,  но ВЫЧИСЛЕННОГО  уже ДЛЯ ЦЕНТРА МАСС АНАЛИЗИРУЕМОГО ТЕЛА (Луны), движение которого мы и определяем в выбранной нами Земной СК.   Этот, учитываемый в уравнениях движения для тела, РАЗНОСТНЫЙ ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ от Солнца НАЗЫВАЕТСЯ  УЧИТЫВАЕМЫМ ВОЗМУЩАЮЩИМ ФАКТОРОМ  (в данном случае ВОЗМУЩЕНИЕМ  от притяжения Солнцем  на  траекторию тела в Земной СК) и, как видно из рис.1,  приращение имеет практически линейный характер, несмотря на  обратно-квадратическую зависимость в законе притяжения,  благодаря сравнительно небольшой величине рассматриваемого интервала дальности (до 3 млн.км) при расстоянии до Солнца 149,6 млн.км.

     Точка пересечения на рис.1  графика ускорения от притяжения Землёй и графика ВОЗМУЩАЮЩИХ ПРИРАЩЕНИЙ  от ускорения притяжения Солнцем,  где они сравниваются,  и определяет искомое нами «критическое расстояние» удержания Землёй на своей орбите любых спутников независимо от величины их массы (ведь ускорения от гравитационного притяжения для всех тел на одном и том же расстоянии от притягивающего тела  ОДИНАКОВЫ по величине, будь то искусственный спутник  или Луна).   Максимально возможное («критическое») расстояние  удержания тел гравитационным притяжением от Земли с учётом возмущений от Солнца получилось равным  ~1,68 млн.км.  При этом притягивающее ускорение от Земли, воздействующее на тела при этой максимальной дальности, составило  ~140·10-6 [м/сек2].

    Понятно, что это лишь оценка «критического» расстояния сверху, как говорят математики, а реальное значение должно быть несколько меньше, но на сколько?

     Благодаря наличию у автора данного комментария программы, созданной им для расчёта траекторий движений 4-ёх  космических тел в полной постановке (число учитываемых тел несложно  было увеличить,  но 4-ёх тел было вполне достаточно для учёта ещё и спутников)  в соответствии с простой и вполне понятной методикой из книги: Г.Н. Дубошина «Небесная механика. Основные задачи и методы» Издательство «Наука», 1968г,  Глава XIV. «Задача трёх тел», стр. 730-731, выр. 14.1` и 14.2`)  была определена (за счёт серии расчётов) величина  «критического начального расстояния» до Луны относительно Земли, при котором происходит устойчивое  удержание Луны Землёй на протяжении  3-5 годовых оборотов Земли вокруг Солнца, и  которое в итоге составило максимум  ~ 1,60 млн.км при начальном значении орбитальной скорости Луны относительно Земли  0.1415 км/сек (с допустимым из условий захвата Луны Землёй разбросом по величине начальной орбитальной скорости Луны относительно Земли не более +-0,0015 км/сек, т.е. .(+-1,1%).   Это уже полностью «выжатый», как лимон, максимум по «критическому» расстоянию (например, уже при начальной дальности до Луны в 1,61 млн.км не удалось получить стабильного удержания Луны на орбите вокруг Земли, т.к . происходил сход Луны с орбиты уже  вначале второго годового  витка  вокруг Солнца ).

      На такой предельной дальности удержания  орбита Луны весьма далека от круговой и представляет из себя очень вытянутый эллипс с большой полуосью эллипса, равной начальному расстоянию до Луны (1,6 млн.км), а малая полуось эллипса очень мала и приближается к 0,05-0,2 млн.км относительно Земли.    При меньшей начальной дальности до Луны, например,  1.50 млн.км  начальная орбитальная скорости Луны, при которой происходил устойчивый переход к орбите спутника Земли,  составила  0,114  +-0,014 км/сек.  Уменьшение начальной дальности до Луны относительно её предельного значения сопровождается расширением допустимого разброса по величине  начальной орбитальной скорости Луны относительно , например,  до  +-12% на расстоянии 1,5 млн.км, вместо +-1,1% для предельной дальности 1,6 млн.км..

    Как видим, получились весьма близкие результаты по предельной дальности (1,60 млн.км по программе расчёта для «Трёх тел» и 1,68 млн.км по графической оценке из рис.1), хотя  были опасения получить  меньшую величину дальности в программных расчётах из-за возможного влияния  динамического заброса в процессе втягивании Луны из начальных условий  в установившийся режим вращения вокруг Земли.

 Далее приведены некоторые характерные скриншоты данной программы.  

  На первом скриншоте (начальная дальность до Луны  R0л=1,59 млн.км с начальной орбитальной скоростью её относительно Земли V0л=0.132 км/сек ) произошёл сход Луны (красная траектория) с орбиты Земли (тёмно-синяя траектория), начавшийся  где-то в конце первой половины годового витка. 

  На втором показан момент соударения Луны с Землёй в начале второй половины первого годового витка (R0л=1,50 млн.км и V0л=0,09 км/сек), определяемый специальной процедурой в программе по моменту смены знака скорости их сближения, чтобы не проскочить момент соударения с учётом реальных диаметров Земли и Луны и с выдачей аварийного сообщения о целесообразности продолжения счёта текущего варианта.

  На третьем (R0л=1,59 млн.км и V0л=0,14 км/сек) показано устойчивое вращение Луны  вокруг Земли  уже на начало 6-го годового витка. 

   К сожалению, правая часть скриншота не видна, где выводится информация по году, дню, часам, мин и сек текущего варианта расчёта.  Все вращения Земли и Луны поисходят против часовой стрелки, что сделано для соответствия реальным  направлениям вращения Луны и Земли при виде на плоскость эклиптики  и на северный полюс Земли. Кстати, закручивание Луны относительно Земли в другую сторону (по часовой стрелке) за счёт её размешения ближе к Солнцу в момент начала счёта, практически не влияет на результаты расчётов максималной дальности. В дальнейшем будет добавлен  вывод на это же поле графика относительной траектории вращения Луны вокруг Земли  в удобном масштабе. Для этого есть все данные, но требутся огранизовать сам вывод на поле графика. 

 Примечание: Cправка о ПК и методе интегрирования в программе.  Время счёта данной программой на ПК 10-летней давности с 4-ёх ядерным процессором  "Quad Q6600" и тактовой частотой работы  2,4ГГц  одного годового витка Земли вокруг Солнца составляет 7мин 47сек. при использовании для интегрирвания дифференциальных уравнений движения тел шага счёта 0.25сек с применением метода  Адамса 4-го порядка точности с использованием подхода явного (метод Адамса-Бошфорта 4-го порядка) и подхода неявного (3-х шаговая неявная формула Адамса-Мултона ), что повысило точность и устойчивость расчётов, которые проходили и при шаге счёта 0,50 сек,  но для гарантии точности расчётов был использован всё же более мелкий шаг  интегрирования по времени 0.25сек. Кстати, при сравнении с решением задач самонаведения ЛА, где траектории гораздо более изменчивые (с боковыми перегрузками, превышающими в  несколько десятков раз ускорение от притяжения Землёй),  шаг интегрирования дифуравнений практически такой же (0,125 сек при применении стандартного метода Рунге-Кутта).    Следует отметить,  неожиданный факт довольно высоких требований к шагу интегрирования дифуравнений при расчёте таких малоповоротливых космических тел.   

  Годовое вращение гравитационного поля от Солнца существенно  влияет на эволюцию удлинённых орбит спутников Земли, поскольку спутники стремятся сохранить положение плоскости своей орбиты стабильным относительно неподвижных далёких звёзд, а Солнце непрерывно поворачиваясь относительно плоскостей орбит спутников Земли на 360 градусов в течении земного года, влияет на орбиту Луны с разных направлений (влияние неоднородности поля гравитации Солнца не только по величине, по и по направлению), превращая выше найденное «критическое расстояние» из одной точки (в новолуние) по мере поворота Солнца относительно инерциальной Земной СК  в геометрическое место точек в виде круга относительно Земли за один годовой оборот.

 Так называемая «сфера Хилла»  задаёт максимально-возможную дальность удержания спутников,  величина радиуса которой составляет от 0.94 до 1,5 млн.км. (по данным из статьи «К.В.ХОЛШЕВНИКОВ Луна - спутник или планета?»). А по данным из ниже рассматриваемой книги В.И.Левантовского величина радиуса «сферы Хилла» равна 1,5 млн.км для Земли.  Как видим, расчёты по программе в полной постановке для «Трёх тел»  практически весьма близки к максимальной величине расстояния «сферы Хилла» (1,60 и 1,50 млн.км).    

   Поиск в интернете информации о разных гравитационных сферах для Земли привёл к интересной книге  В.И.Левантовского ( «Механика космического полёта в элементарном изложении»  3 издание, 1980г.) в главе2, параграф 7 «Сфера действия и приближённый метод расчёта траекторий», стр. 68-72).

   Автор рассматривает в ней методику приближённого расчёт траекторий полёта от Земли к другим планетам Солнечной системы. Например, в начальной фазе после старта с Земли расчёт ведётся в Земной Системе Координат (СК) с применением упрощённых «кеплеровых» траекторий  и рассмотренного ранее  (в моём комментарии от 16.12.2019г)  метода Поправок (Приращений) при  учёте возмущающего влияния неоднородности гравитационного поля Солнца.     По мере увеличения расстояния от Земли и приближении к «сфере Хилла» для бортового  компьютера межпланетной космической станции наступает пора переходить к расчёту траектории её полета из Земной СК в Солнечную СК, поскольку ОТНОСИТЕЛЬНАЯ величина в методе ПОПРАВОК приращения ускорения от Солнца, отнесённая к величине текущего ускорения от притяжения Землёй, начинает быстро нарастать, с 0,5% на дальности орбиты Луны (~0,4 млн.км) до, например, 68% на дальности 1,5 млн.км.

   Расстояние от Земли, на котором космические баллистики считают нужным переходить (для обеспечения требуемой точности в  определении параметров движения космической стации) от расчёта траектории в  текущей системе координат (например,  Земной СК) к расчёту в другой системе координат (соответственно, к Солнечной СК) и  называется в книге «СФЕРОЙ ДЕЙСТВИЯ» Земли.

     Для оценки этого расстояния автор книги рассмотрел величины ВОЗМУЩАЮЩИХ ПОПРАВОК, отнесённых к основному ускорению (в %)  в  каждой из  систем координат:  Земной СК (с возмущением от Солнца)   и  в Солнечной СК (с возмущением от Земли) для двух значений дальности (0,5 и 1,5 млн.км.) от Земли, и показал что на малой дальности выгоднее расчёт в Земной СК, а на большей –  в Солнечной с точки зрения МЕНЬШЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ДОЛИ ПОПРАВОК относительно земного ускорения (в Земной СК)  и  солнечного ускорения (в Солнечной СК).     

     Было решено построить для данного комментария  (отсутствующие в рассматриваемой книге) графики этих относительных поправок в [%] по дальности от Земли в направлении  на Солнце, рассчитанные для двух систем координат Земной и Солнечной.   Отметим, что методика определения поправок для Земной СК уже ранее была описана,  а вот  расчёт поправки при определении траектории в Солнечной СК состоит в том, что надо брать ПРИРАЩЕНИЕ от теперь уже ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ ОТ ЗЕМЛИ для центра масс межпланетной станции  относительно ускорения от Земли на расстоянии до центра масс Солнца, т.к. расчёт идёт уже в Солнечной СК.    Однако  ВЕЛИЧИНА ЗЕМНОГО УСКОРЕНИЯ  на расстоянии до центра масс Солнца в ~149,6 млн.км,  оказывается совсем незаметной (0,018·10-6 [м/сек2])   (для справки, на оценке максимальной дальности сверху по удержания тел Землёй в  ~1,68 млн.км ускорение от Земли равно  ~140·10-6 [м/сек2](см. рис.1) ),   и поэтому ПРИРАЩЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ ОТ Земли для текущего положения центра масс станции просто  РАВНО ВЕЛИЧИНЕ ЗЕМНОГО УСКОРЕНИЯ (ведь из неё вычитается почти нулевая величина), но  ОТНЕСЁННОЙ уже к УСКОРЕНИЮ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ Солнца, т.к. это поправки  в СОЛНЕЧНОЙ СК от Земного возмущающего ускорения, то и  относить их надо к величине ускорения от Солнца, поскольку расчёт идёт в Солнечной СК.

       На рис2. приведены два графика для этих ОТНОСИТЕЛЬНЫХ поправок (в зависимости от расстояния от Земли) для расчётов в Солнечной СК:   gЗ  =  gЗемли / gСолнца; (тёмно-зелёный цвет)     и в Земной СК:    dgC= ( gС(при (Rc – R)) – gС(при Rc) ) / gЗемли   (красный цвет);     

где Rc =149,6 млн.км – расстояние от Земли до Солнца, R – расстояние от Земли в направлении на центр масс Солнца.

      На рис.2  отмечены 4 характерных точки («т.1» - «т.4»). На первый взгляд, с точки зрения равной погрешности вычислений как в Земной, так и Солнечной системе явно подходит точка «т.3», т.к в ней доля поправки одинакова для обеих СК и равна 10,3%  при дальности от Земли 0,8 млн.км, которую и можно было бы принять за значение «сферы действия» Земли для перехода между расчётами в Земной и Солнечной СК.    

   Приведём определение для «Сферы действия тяготения» (С. д. т.)  из  БСЭ (энциклопедии) (https://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/137366/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0 ) :

«  «Сфера действия тяготения» - небесного тела, область пространства, в которой тяготение данного тела доминирует над притяжением всех других небесных тел…   Если тело находится внутри С. д. т. какой-либо планеты, то его движение целесообразно изучать в системе координат, связанной с этой планетой; притягивающее же действие Солнца учитывать как возмущение (см. Небесная механика). При нахождении С. д. т. планеты притяжением всех других планет пренебрегают.

    С. д. т.  планеты определяется следующим образом. Если R есть ускорение, сообщаемое некоторому телу Солнцем в его гелиоцентрическом (отнесённом к центру Солнца) движении, а F — возмущающее ускорение со стороны планеты; если, с другой стороны, R1 есть ускорение, сообщаемое телу планетой в её планетоцентрическом движении, а F1 — возмущающее ускорение, вносимое в это движение притяжением Солнца, то С. д. т. планеты является область, в которой выполняется неравенство: F1/R<  F/R. За пределами этой области выгоднее за основу принимать гелиоцентрическое движение.»

  Смысл членов этого неравенства из статьи БСЭ  и в данном комментарии ПОЛНОСТЬЮ СОВПАДАЕТ  с долями поправок, нарисованными на рис.2 ,  F1/R1dgC , а  F/R =   и поэтому неравенство  F1/R<  F/R  эквивалентно неравенству в наших обозначениях:       dgC <  gЗ  .

  Если взглянуть на рис.2 , то это означает только то, что величина радиуса «сферы дальности тяготения» для планеты Земля, где целесообразно вести расчёты в Земной СК  должна быть согласно неравенству менее 0,8 млн.км,  где красная кривая (dgC) начинает идти ниже тёмно-зелёной кривой (), т.е. слева от «т.3» по дальности.  Иначе говоря, данное условие в БСЭ,  написанное для любых планет Солнечной системы. Однако по предложенному в этой статье выражению для расчёта  С. д. т.  её радиус для планеты Земли составляет 0,929 млн.км., что близко в значению, которое было приведено в книге В.И.Левантовского (см. ниже). 

 Необходимо отметить принципиальную ошибку в первой строке из статьи БСЭ, определяющую С. д. т.  как «область пространства, в которой тяготение данного тела доминирует над притяжением всех других небесных тел».     Это неправильно, если посмотрите на рис.2, то в диапазоне дальности от  ~260 тыс.км («т.1») до  ~800 тыс.км. («т.3») сила притяжения Солнцем  БОЛЬШЕ  силы притяжения от Земли от 1 до 10 раз (см. параметр Fс-з на рис.2), т.е. в  2/3 области по радиусу сферы С. д. т. , или в 96,5% объёма сферы,  С. д. т. притяжение от Солнце превышает притяжение от Земли!

   Надо было написать, что  ««Сфера действия тяготения»  небесного тела это  область пространства, в которой тяготение данного тела доминирует над ПРИРАЩЕНИЕМ притяжений всех других небесных тел,  рассчитанных  относительно центра масс тела»

   А вот с точки зрения относительной погрешности в определении величины дальности  ситуация в  Солнечной СК гораздо тяжелее, чем в Земной СК, поскольку расстояние до Солнца в ~ 100 раз больше, чем до Земли.   Например, при появлении ошибки в сторону завышения дальности до Солнца (относительно «т.3» ) на 0.30%  и 0,37%  (от величины  дальности  до Солнца, равной для точки «т.3» 148,8млн.км (=149,6-0,8 млн.км)  приведёт к  ПОЯВЛЕНИЮ ОШИБКИ, вкравшейся в  ВЕЛИЧИНУ ПОПРАВКИ, равной  35%  и 90%) от величины текущего Солнечного ускорения (для станции), т.е «т.3»  как бы условно сместится вдоль графика относительных поправок (график тёмного цвета) из-за ошибочной дальности до Солнца в положение поправок, соответствующих  точкам  «т.2 » и «т.1», что приведёт к СУЩЕСТВННЫМ  ОШИБКАМ в поправках при расчёте траектории относительно реальной точной дальности, соответствующей дальности  «т.3».

   А вот в Земной СК благодаря меньшей дальности от межпланетной станции  та же  величина относительной ошибки в завышении дальности до станции на 0,37% от истинной приведёт к появлению дополнительной погрешности  поправки всего в  0.12% от ускорения Земли (график красного цвета). И только при  уж совсем невероятном завышении расчётной дальности до Земли  В ДВА РАЗА для точки «т.3» приведёт к ошибке в 74% от величины текущего земного ускорения.

    С учётом более существенного влияния точности определения текущей дальности в Солнечной СК желательно увеличить радиус «сферы действия», сместив его от точки  «т.3», в направлнии к точке  «т.4» и даже далее, поскольку расчёт траектории межпланетной  станции в Земной СК может быть продолжен и за пределами дальности «сферы Хилла», но уже при больших относительных величинах Поправок возмущения от Солнца , превышающих 100% от земного текущего ускорения для станции., что и подтверждает введение взамен «сферы действия» новой сферы  на ту же тему (перехода между расчётными траекториями в разных системах координат для межпланетных траекторий) с названием «СФЕРА  ВЛИЯНИЯ», отличающуюся лишь ещё большим значением её радиуса   

      Вот как «СФЕРА  ВЛИЯНИЯ» описана у  В.И.Левантовского:    «При использовании упрощённого метода расчёта космических траекторий основные погрешности накапливаются при расчёте движения в районе границы «сферы действия». Поэтому некоторые авторы считают, что для большинства случаев расчёта более высокие точности дают области разграничения между центральными полями тяготения, определяемые иначе, чем это сделано выше. Предлагалось, например, считать соответствующую область  вокруг Земли, имеющей радиус 3-4 млн.км.  На основании энергетических соображений для подобной «СФЕРЫ ВЛИЯНИЯ» выводился радиус, равный... »     (далее следует выражение для сферы влияния. (см. в книге.))

    Но и это ещё далеко не все факторы, которые могут быть приняты во внимание  баллистиками космических перелётов при выборе  величины  «сферы действия», например, можно учесть влияние на точность расчёта параметров траектории ограниченных характеристик бортового вычислителя.

    В книге В.И.Левантовского приведено  КОНКРЕТНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ для определения «СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ» для любых планет и дающее для Земли величину  0,925 млн.км.,  которая, как следует  из рис.2, лишь на 16% больше дальности для точки  «т.3» (с дальностью 0,8 млн.км. и на которой относительные величины поправок для обеих СК равны и составляют 10%), что обеспечивает  близкие между собой  значения относительных поправок от текущих  ускорения в Земной (16%) и Солнечной (8%) системах координат.

  Смысл введения понятий  «сфера действия» и «сфера влияния» стал понятен.

      Далее В.И. Левантовский приводит сравнительное описание «сферы действия»  и «сферы Хилла»:

« Единственный смысл понятия «сферы действия»  заключается именно в границе разделения двух кеплеровых траекторий  (рассчитываемых в разных системах координат, например, Земной и Солнечной *)примечание моё).   В частности, «сфера действия» планеты вовсе не совпадает с той областью пространства, в которой планета способна вечно удерживать свой спутник. Эта область называется «сферой Хилла»  для планеты относительно Солнца.  Внутри «сферы Хилла» тело может находиться неограниченно долго, несмотря на возмущения со стороны Солнца, если только в начальный момент оно имело эллиптическую планетоцентрическую орбиту. Эта сфера больше сферы действия.  «Сфера Хилла» для Земли относительно Солнца имеет радиус 1,5 млн.км.».

  Свои значения максимальной дальности удержания спутников на орбите Земли, являющихся такими же оценками, как и  «сфера Хилла»,  мы уже определили в начале этого комментария.

 Как мне кажется, получилось неплохое совпадение результатов оценки сферы удержания спутников Землёй: 1,50 млн.км. («сфера Хилла»),   1,60 млн.км (Задача «Трёх тел»)  и 1,68 млн.км (дальность безусловной потери спутников Землёй, т.е. верхнее ограничение на дальность удержания  спутников Землёй).

      И, наконец,  автор в деликатной форме высказал своё твёрдое отрицательное отношение к понятию «СФЕРА ПРИТЯЖЕНИЯ» (с чем и я полностью согласен):

«В отличие от «сферы действия» и «сферы Хилла»   «СФЕРА  ПРИТЯЖЕНИЯ» планеты относительно Солнца,  определяемая как область, на границе которой попросту равны гравитационные ускорения от планеты и от Солнца,  НЕ ИГРАЕТ НИКАКОЙ РОЛИ В КОСМОДИНАМИКЕ.

Луна находится глубоко в сфере действия Земли. Поэтому мы предпочитаем рассматривать геоцентрическое движение Луны и считать её спутником Земли.  И отказываемся считать Луну самостоятельной планетой ввиду слишком больших гравитационных возмущений её гелиоцентрического движения со стороны Земли.  Любопытно, что орбита Луны (см. «т.2») лежит вне сферы притяжения Земли («т.1» имеющей радиус притяжения примерно 260 000 км.), т.е. Луна сильнее притягивается Солнцем, чем Землёй».   

 *)примечания по номерам точек мои.

  А ведь именно критике такого подхода, учитывающего СООТНОШЕНИЕ СИЛ (и положенного в основупонятия «сферы притяжения»), действующих на тело, был, в основном, и  посвящён мой предыдущий комментарий (от 16.12.2019г)  по этому вопросу с привлечением закона притяжения и второго закона Ньютона.  Основной вывод этого комментария состоял с том, ПРИТЯЖЕНИЕ Луны Солнцем ВООБЩЕ ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ВЛИЯЕТ НА относительное ВРАЩЕНИЕ ЛУНЫ ВОКРУГ Земли при существующей на сегодня орбите Луны.  При анализе ещё  больших размеров орбит (для межпланетных станций)  необходим ТОЛЬКО ДОПОЛНИТЕЛНЫЙ УЧЁТ НЕОДНОРОДНОСТИ гравитационного поля от ускорения Солнцем в виде ВЕКТОРНЫХ ПОПРАВОК (ПРИРАЩЕНИЙ) этого ускорения для рассматриваемого тела относительно ВЕКТОРА этого же ускорения, рассчитанного для начала системы координат, в которой и рассчитываются траектория тела.  В  терминах математики эта ПОПРАВКА представляет  собой УЧЁТ ТОЛЬКО  ДИФФЕРЕНЦИАЛА (иначе Приращения) ОТ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ  Солнца относительно начала системы координат для  рассматриваемого тела  ВМЕСТО УЧЁТА ПОЛНОГО ВЕКТОРА этого же ускорения для тела.  А это, согласитесь,   далеко не одно и то же, так как величина силы  может быть большой и в то же самое время при этом обладать  почти нулевой скоростью векторного изменения своей величины при малом изменении расстояния до Солнца относительно полного расстояния до него, а значит и обеспечивать НУЛЕВОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОПРАВКИ от влияния этой силы, что и наблюдается в диапазоне дальности от низких орбит искусственных спутников Земли (в несколько сотен километров над Землёй)  вплоть до орбиты Луны относительно Земли (см.красный график на рис.2).

     Например, на расстояниях более, чем у  «сферы притяжения» с её  260 тыс.км  («т.1» на рис.2) УСКОРЕНИЯ от СОЛНЦА НАЧИНАЮТ ПРЕВЫШАТЬ УСКОРЕНИЯ от притяжения Землёй, достигая превышения в 2,2 раза на орбите Луны (см. параметр F=Fc/Fз  для точки «т.2» ) ,  что отнюдь не мешает Земле стабильно удерживать Луну на своей Земной орбите. И только в области максимальной дальности «сферы Хилла» (~ 1,5 млн.км.),  на границе которой сила притяжения Солнцем уже в ~34! раза превышает силу притяжения от Земли или даже ещё дальше:  на её теоретическоё оценке «сверху», т.е. в  «т.4» (где Солнце притягивает в  ~40,5раз сильнее, чем Земля), когда ПРИРАЩЕНИЕ от солнечного ускорения (а не его полное значение!) ПОЛНОСТЬЮ СКОМПЕНСИРУЕТ УСКОРЕНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ Земли,  земные спутники безусловно сойдут с орбиты вокруг  Земли  и станут спутниками Солнца.

    Всё вышеизложенное, а так же контрольные расчёты на полной модели «трёх тел», подтверждает  ПОЛНУЮ БЕСПОЛЕЗНОСТЬ  И  ОШИБОЧНОСТЬ (для понимания истинных причин  удержания планетами своих спутников) ПРИМЕНЕНИЯ  различных значений  «СООТНОШЕНИЯ СИЛ», учитывающих воздействие силы притяжения Солнцем.

   

    Пора подводить итоги рассмотрения пяти терминов «сфер» для планеты Земля:

Во-первых, прежде всего,   ОТМЕТИМ самую важную и, на мой взгляд, единственную из всех  вышерассмотренных «сфер», достойную общедоступного применения и упоминания  для всех планет Солнечной системы -   «Сферу Хилла»  как конкретную по смыслу и  значению, и  определяющей  радиус  ~ 1,5 млн.км. для планеты Земля,   внутри которого различные тела могут находиться неограниченно долго на орбитах вокруг планеты, несмотря на возмущения со стороны Солнца. Это действительно важная и необходимая характеристика для любой планеты!

   Расчёты значения этой же дальности «удержания», проведенные автором данного комментария,  полностью подтверждают эту величину «Сферы Хилла» применительно к планете Земля, которая равна  1.50 млн.км, видимо, с небольшим запасом в меньшую сторону.

    Определение этой же предельной дальности для Земли (с применением расчётов на полной задаче для «Трёх тел»)  дала максимум в 1,60 млн.км (при дальности в 1,61 млн.км спутники срываются Солнцем с орбит вокруг Земли). При этом на рис.1 определено ВЕРХНЕЕ ОГРАНИЧЕНИЕ на величину предельной дальности:  ~1,68 млн.км, которая  и является безусловным ограничением сверху на дальность удержания Земных спутников, приводящей к  безусловнойной  потере спутников Землёй, т.е. к их сходу  с относительной орбиты вокруг Земли на самостоятельные орбиты вокруг Солнца.

 Как мне кажется, можно было бы ввести в широкое употребление отечественный и понятный любому термин, например, «Сфера удержания спутников планетой» в противовес «Сфере Хилла», требующей обязательного разъяснений её смысла при первом знакомстве с этим термином. 

Во-вторых, для всех интересующихся проблемами космических полётов  (за исключением узких специалистов по космической динамике),  можно было бы объединить вместе вышерассмотренные «сферы» (  «сфера действия» и «сфера влияния»)  несмотря на существенно  разные величины их значений для Земли (0.925 млн.км. и 3-4 млн.км соответственно) как предназначенные для одной и той же  цели:  использования величины радиуса этих сфер  в качестве границы для стыковки двух «кеплеровых» траекторий, рассчитанных в разных системах координат при расчёте межпланетных траекторий полёта, где в зависимости от предпочтительного выбора какого-либо фактора,  влияющего на точность  расчёта траекторий, меняется и величина радиуса этих сфер в довольно широких диапазоне.    

   По моему,  вместо этих двух  «сфер» на одну и ту же тему и к тому же с весьма неудачными названиями («сферы действия тяготения», «сфера действия» и «сфера влияния»)  целесообразнее для широкого употребления общественностью (специалисты сами разберутся без нас с внутренним применением этих терминов) ввести  ОДНУ НОВУЮ СФЕРУ с понятным для всех читающих названием: «Сфера стыковки межпланетных траекторий», рассчитываемых в двух системах координат.  Иначе говоря, это сфера, по достижении которой к траектории межпланетной станции применяется «метод сопряжённых конических сечений» в связи с переходом расчёта траектории из одной системы координат в другую. Однако встаёт вопрос, а какое конкретное значение ей присвоить, исходя из разных радиусов этих сфер?

    Существующие же названия этих сфер для планеты («сфера действия тяготения», «сфера действия», «сфера влияния») невольно вызывают странные мысли о не бесконечном распространении силы гравитационного притяжения планеты в окружающем нас пространстве. 

    Немалый разнобой в величине  радиуса этих «сфер» (до 4 раз) несмотря на одно и то же их  предназначение  - стыковку траекторий, рассчитываемых в разных системах координат,  лишь свидетельствует о субъективном характере  выбора значений их радиусов, а потому эти «сферы», по-моему, и  не должны носить таких названий для планет, намекающих на какие-то ограничения  их гравитации  и ассоциирующиеся именно так  у подавляющего большинства читателей, поскольку сами названия не сообщают об их истинном и весьма скромном предназначении что-то где-то там поменять внутри компьютера в алгоритме расчёта траекторий!   Да какое же это имеет отношение к гравитации планеты, чтобы создавать столько разных впечатляющих названий «сфер», предназначенных для одного и того же применения?   Конечно, краткость – сестра таланта, но не до такой же глубины пропасти между названием термина с его узким предназначением и к тому же с подвижным значением величины радиуса.  

   Вот «сфера Хилла», например,  даёт действительно ценную информацию о гравитационных возможностях планеты по удержанию своих спутников!   А вышеупомянутые сферы лишь свидетельствуют о недоговорённости между собой специалистов по баллистике в величине радиуса этих «сфер».

  

  В-третьих,  в отличие от всех остальных сфер, рассмотренных выше,  «Сфера притяжения»  планеты относительно Солнца,  определяемая как область, на границе которой попросту равны гравитационные ускорения (а так же равны и силы, поскольку они приложены к одному и тому же телу) от планеты и от Солнца,  НЕ ИГРАЕТ НИКАКОЙ ПРАКТИЧЕСКОЙ РОЛИ В КОСМОДИНАМИКЕ (см. выше ссылку на книгу В.И.Левантовского, стр.71), а если сказать прямо и честно, не взирая на личности,   то  ЯВЛЯЕТСЯ не только БЕСПОЛЕЗНОЙ, а , с инженерной точки зрения,  ОШИБОЧНОЙ  И  ВРЕДНОЙ  как  способствующей поддержанию и распространению  ошибочного обывательского ЗАБЛУЖДЕНИЯ  О  ПРЯМОМ   ВЛИЯНИИ  СИЛЫ  ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ СОЛНЦА  НА ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ТРАЕКТОРИЮ ВРАЩЕНИЯ Луны вокруг Земли В ВИДЕ УЧЁТА так называемого «СООТНОШЕНИЯ СИЛ» (отношения силы притяжения  от Солнца к силе притяжения Землёй, равного единице для  «сферы притяжения»).

   А что самое печальное при этом, что СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ Солнцем  ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ОКАЗЫВАЕТ НИКАКОГО ВЛИЯНИЯ НА ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ТРАЕКТОРИЮ ВРАЩЕНИЯ Луны вокруг Земли как её не учитывай в любых числовых соотношениях, т.к. она лишь искривляет траектории полёта Земли,  Луны и их спутников с ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫМ УСКОРЕНИЕМ (от воздействия этой силы притяжения Солнца) до почти круговых орбит вокруг Солнца,  ПРАКТИЧЕСКИ  НЕ  ВЛИЯЯ  НА  ИХ ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ  траектории вокруг Земли  БЛАГОДАРЯ  ВЕСЬМА  ХОРОШЕЙ ОДНОРОДНОСТИ  ускорения от воздействия этой самой силы притяжения от Солнца в области сегодняшней орбиты Луны.

     Достаточно лишь напомнить о том, что   увеличение радиуса орбиты спутника Земли, например,   с  ~260 тыс.км («сфера притяжения»)  до 1,5 млн.км («сфера Хилла») сопровождается стремительным ростом величины «Соотношения сил» (отношения силы притяжения от Солнца  к силе притяжении от Земли)  с  1   до  34 (см. величину параметра F,  равному отношению силы притяжения от Солнца к силе притяжения от Земли для  выделенных точек на рис.2),  хотя  внутри «сферы Хилла» Земля, не взирая ни на какие большие величины «Соотношения сил» устойчиво удерживает все свои  спутники независимо от величины их массы, вплоть до Луны, что и  свидетельствует о полной бесполезности (или «Не играет никакой роли в космодинамике» - по В.И.Левантовскому) применения понятия «Соотношения сил».

   Фактически  СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ Солнцем начинает оказывать своё влияние на относительные траектории спутников Земли  только при больших радиусах их орбит, сравнимых с орбитой Луны и более, из-за  роста  неоднородности гравитационного поля ускорения от Солнца на траектории полёта спутников Земли,  НО ТОЛЬКО НЕ  НАПРЯМУЮ, А ЗА СЧЁТ ОДНОГО ПРИРАЩЕНИЯ  СВОЕГО  ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ на рассматриваемое тела (например, Луну)  относительно значения этого же самого  вектора ускорения в  начале применяемой системы координат, например, в  центре масс Земли для Земной СК, если в ней рассчитывается траектория Луны вокруг Земли.   А ведь ПРИРАЩЕНИЕ ОТ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ  и  ПОЛНАЯ ВЕЛИЧИНА ЭТОГО ВЕКТОРА, что эквивалентно применению термина «Соотношение сил (ускорений)»,   ведь не одно и то же, как не совпадает  в математике понятие о  дифференциале ( приращении)  силы   и  величине самой силы.

  В итоге, «Сфера притяжения» из всех рассмотренных «сфер» для планет, по моему твёрдому убеждению, вообще не имеет никакого права на своё существование как не только бесполезная, но и вредная по своей сути, искажающая в задаче «Трёх тел» реальную механику вращения тела относительно другого для малоподготовленных читателей из-за чисто формального рассмотрения величины «соотношения сил», при том, что величина этой силы притяжения от Солнца не оказывает никакого практического влияния  на относительное вращение Луны вокруг Земли при существующей орбите Луны.

 

P.S.      Что же, в итоге,  можно выделить и рекомендовать из рассмотренного изобилия «сфер», достойных  общедоступного упоминания  на просторах Интернета?  По «Гамбургскому счёту», только одну «сферу»  -  «сферу Хилла» и больше никаких других из вышерассмотренных так называемых «сфер», за серьёзными названиями которых нет единой величины радиуса «сфер», несмотря на одно и то же их предназначение.   Только «Сфера Хилла» представляет важную и конкретную по величине характеристику гравитационных возможностей планеты в условиях её подчинённого положения относительно  гравитационного поля звезды по имени «Солнце»  И ОПРЕДЕЛЯЮЩАЯ  МАКСИМАЛЬНЫЙ  ВОЗМОЖНЫЙ РАДИУС СФЕРЫ, внутри которой планета  может стабильно удерживать свои спутники от гравитационных притязаний Солнца по срыву спутников с их относительных траекторий вращения вокруг планеты.

   По моему скромному мнению, упоминание «сфер» с названиями  («сфера действия тяготения», «сфера действия» и «сфера влияния»), НЕ ОТРАЖАЮЩИМИ ИХ ОДИНАКОВОГО  РЕАЛЬНОГО ПРЕДНАЗНАЧЕНИЯ переходить из одной системы координат в другую при расчёте межпланетных траекторий, следует ограничить кругом специалистов их и предложивших для своих же расчётов. Либо раскрыть их истинный смысл, заменив их названия на более понятное: «Сфера стыковки межпланетных траекторий».    Видимо, только «солидность» названий  этих «сфер» и позволила им  закрепиться в умах  пользователей Интернета, поверивших в серьёзность их смысла и поставивших  их в один ряд с единственной и действительно важной для планет характеристикой - «Сферой Хилла».

В итоге, всё изобилие  названий гравитационных "сфер" для планеты Земля оказалось на удивление однообразным и малополезным для широкой публики в Интернете, несмотря на свои солидные названия.   

Однако,  Со Старым Новым Годом  и  новыми понятными названиями для «сфер»!

 До ближайшей  встречи на Лунных орбитах, поскольку на наших глазах разворачивается  уже не "киношная", а реальная гонка полётов человека на Луну. Определим параметры «сферы удержания спутников» для Луны.

 Георгий. 13.01.2020г. 17час.40мин время моск.

 

Прекрасное объяснение данного вопроса: грамотно с точки зрения законов класической механики, кратко и  чётко! Короче не скажешь...

Но на мой взгляд, из-за краткости объяснение  оказалось рассчитаным  на более продвинутого читателя (знакомого с понятием сферы действия тела), который уже и сам близок к правильному ответу.   Для совсем начинающих, которых ещё очень много, надо бы поподробнее, но это уже ближе к статье, чем к комментарию... 

Редко в последние времена удаётся прочитать такие краткие комментарии. Отлично. 

 Так почему Луна вращается вокруг Земли, если сила притяжения её Солнцем в 2,0-2,5 раза больше силы притяжения Луны к Земле?

  У многих (и даже весьма продвинутых "специалистов") этот вопрос заканчивается ответом, что, видимо, Закон притяжения Ньютона не работает, поэтому ответим на этот вопрос  подробно с разбором типичных ошибок  в трёх пунктах в полном соответствии с законами механики Ньютона.

    Во-первых, если в вопросе сравнивается  влияние силы гравитационного притяжения между Луной и Солнцем с силой притяжения между Луной и Землёй, то  следует быть последовательным до конца и обязательно учитывать силу притяжения Солнцем не только  Луны, но и Земли.

    Во-вторыхРАССМАТРИВАТЬ ВЛИЯНИЕ на относительное движение двух тел в общей постановке с учётом третьего тела (Солнца) ТОЛЬКО ВЕЛИЧИН СИЛ (или ИХ ОТНОШЕНИЙ)   БЕЗ  ПЕРЕСЧЁТА ЭТИХ СИЛ В УСКОРЕНИЯ для каждого из рассматриваемых двух тел, обладающих к тому же  разными массами, с позиций законов механики просто НЕГРАМОТНО, хотя именно в данной конкретной  формулировке рассмотрения сил, приложенных только к одному и тому же телу (Луне) допустимо.

   А если ещё, например, сообщить,  что СИЛА притяжения Земли Солнцем  в 178 раз БОЛЬШЕ СИЛЫ притяжения между Луной и Землёй (сравните с отношением сил для Луны: 2-2,5 раза), то  по навязанной (и физически безграмотной) логике РАССМОТРЕНИЯ СООТНОШЕНИЯ СИЛ Земля явно обойдёт Луну в стремлении к разбеганию друг от друга.  Это логический тупик. 
 
  Далее без  ВТОРОГО закона механики Ньютона нам никак не сдвинуться с насиженного места:    Ускорение тела РАВНО действующей на него результирующей СИЛЕ, ОТНЕСЁННОЙ К МАССЕ ТЕЛА.  При этом вектор ускорения тела направлен по вектору результирующей силы.     
    Именно в таком виде второй закона и необходим всем механикам, поскольку их интересует ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ тела под воздействием  результирующей силы, чтобы определить  УСКОРЕНИЯ, СКОРОСТИ  И  ТРАЕКТОРИЮ  ДВИЖЕНИЯ  тела по времени его движения.  А для этого надо РАССЧИТЫВАТЬ по второму закону механики ТЕКУЩЕЕ УСКОРЕНИЕ центра масс рассматриваемого тела и ИНТЕГРИРОВАТЬ по времени его составляющие в выбранной нами инерциальной системе координат (для космических расчётов  это практически всегда  инерциальные (невращающиеся) системы координат),  определяя при этом составляющие СКОРОСТИ тела. Одновременно производится  интегрирование и для составляющих скоростей (повторное интегрирование ускорений),  позволяющее получить текущие КООРДИНАТЫ тела, т.е. ЕГО ТРАЕКТОРИЮ.   Спасибо сэру Ньютону и другим учёным за все 4 закона механики 16 -18 веков (от Галилея и Гука  до  Лагранжа, Д’Аламбера и Эйлера).

    Из второго закона следует, что для РАСЧЁТА ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА НЕОБХОДИМА только  ВЕЛИЧИНА ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ТЕЛА, вызываемого воздействием на тело РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕЙ ВСЕХ СИЛ и  отнесённой (для пересчёта в ускорение) к МАССЕ тела.

    Типичный пример из космоса:  массы у взаимно притягивающихся тел, как правило, РАЗНЫЕ, а силы притяжения  друг к другу ОДИНАКОВЫЕ (см. чуть ниже Закон всемирного тяготения – он ведь одинаков для притягивающихся друг к другу тел: сила взаимного притяжения пропорциональна произведению масс взаимно притягивающихся тел), поэтому, например,  ускорение сближения  Луны в сторону Земли как более лёгкого тела будет в 81 раз больше ускорения сближения Земли с Луной только потому, что масса Земли во столько же раз больше массы Луны. Показательный пример влияния инерционности тел (их массы) на ускорения тел.

  В ИГНОРИРОВАНИИ второго ЗАКОНА МЕХАНИКИ   И  КРОЕТСЯ ОСНОВНАЯ  ОШИБКА в постановке данного вопроса о Луне.  Для анализа движения тел ВАЖНЫ НЕ ВЕЛИЧИНЫ СИЛ или  ИХ ОТНОШЕНИЙ  ДРУГ К  ДРУГУ,  а  УСКОРЕНИЯ,  вызываемые воздействием эти сил и определяемые с учётом влияния свойства инертности тел (их массы).

  Далее обратимся к закону всемирного тяготения Ньютона и  проанализируем , вытекающую из этого закона, формулу для гравитационного ускорения  тел, притягиваемых Солнцем:

      Fs = G · m · Ms / R2   =  (G · Ms / R2) · m    =    gs · m; (1)       где:   gs = G · Ms  / R2; (2)

где: Fs[Н] - сила притяжения Солнцем тела  массой m[кг] ,  

        G – гравитационная постоянная  (G = (6,6726±0,0005)·10-11  H · м2· кг-2. )  

        Ms[кг] - масса Солнца, R[м] - расстояние от центра масс тела до центра  масс Солнца, 

      Данные по массе Солнца, Земли и Луны в [кг]: 1,98885·1030,    5,9726·1024,   7,3477·1022

   gs[м/сек2] -  гравитационное центростремительное ускорение, приложенное к центру масс притягиваемого тела (массой m), находящегося на  расстоянии R от центра масс Солнца.

 Из выражения (2) следует, что ВЕЛИЧИНА  ГРАВИТАЦИОННОГО  УСКОРЕНИЯ  от притяжения Солнцем  (gs)  ЗАВИСИТ  ТОЛЬКО  ОТ  РАССТОЯНИЯ  до его центра масс (в обратной квадратической зависимости от расстояния) и  НЕ  ЗАВИСИТ ОТ ВЕЛИЧИНЫ МАССЫ ПРИТЯГИВАЕМОГО ТЕЛА!  ВСЕ ТЕЛА на одном и том же  расстоянии от Солнца УСКОРЯЮТСЯ  К  СОЛНЦУ С ОДИНАКОВЫМ  ГРАВИТАЦИОННЫМ  УСКОРЕНИЕМ (от пера и молотка до Луны и Земли).

   Благодаря этому уникальному свойству  СИЛУ  гравитационного  ПРИТЯЖЕНИЯ  И  СИЛЫ  ИНЕРЦИИ  физики выделяют особо и называют  их МАССОВЫМИ  СИЛАМИ  (в отличие от всех остальных физических (ВНЕШНИХ по отношению к телу) сил, например, силы тяги реактивного двигателя или силы сопротивления воздуха), т.е. силами действующими одинаково на каждую единицу массы  внутри  любого тела, а полная (суммарная) сила (от воздействия единичных массовых сил на тело), естественно,  пропорциональна ВЕЛИЧИНЕ МАССЫ  ТЕЛА m и определяется как произведение массы тела,   либо на гравитационное ускорение тела: Fs = gs · m (сила притяжения),      либо на линейное ускорение  Fi = а · m (сила инерции).  Кстати, масса, учитываемая  в формуле для силы притяжения называется ГРАВИТАЦИОННОЙ, а для сил инерции - ИНЕРЦИОННОЙ. У физиков были подозрения об их возможном различии, но на сегодняшний день они считаются практически СОВПАДАЮЩИМИ по величине., т.е. механизм воздействия сил гравитации и сил инерции осуществляется через одну и ту же массу тела. 

   Рассчитаем величину гравитационного ускорения от притяжения Солнцем на расстоянии радиуса  орбиты Земли (орбита Земли близка к круговой): 

        g солнце-земля =  G · Ms / (Rs-земля)2 =  6.67·10-11 · 1.99·1030 /(1.49·1011)= 5.98·10-3 [м/сек2].

   Как видим,  ускорение свободного падения Земли на Солнце невелико (~0,006 [м/сек2])из-за очень большого расстояния до Солнца (149,6 млн.км).

    Что же мы видим (для многих это станет большой новостью): с одной стороны, с точки зрения закона всемирного притяжения,  практическое  РАВЕНСТВО ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫХ УСКОРЕНИЙ ДЛЯ ЛУНЫ И ЗЕМЛИ под воздействием СИЛ притяжения Солнцем  из-за практически одинакового расстояния до Солнца,  а, с другой стороны,   СИЛЫ  притяжения Луны и Земли к Солнцу, отнесённые к равным по величине  силам взаимного притяжения Луны и Земли, составляют  2-2,5 раза (для Луны) и 178 раз (для Земли),  что вызвано различием в ~ 81 раз их масс.   

   Как говорится, почувствуйте  РАЗНИЦУ В РЕАЛЬНОМ ВЛИЯНИИ ПРИТЯЖЕНИЯ Солнцем, выраженную в  УСКОРЕНИЯХ для Луны и Земли (ОНИ ОДИНАКОВЫЕ)   и  в ВЕЛИЧИНАХ (относительных) тех же самых  СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ к Солнцу, сообщивших эти одинаковые ускорения (САМИ СИЛЫ СУЩЕСТВЕННО РАЗНЫЕ из-за различия их масс!:  2-2,5  и  178)  Хотя кто-то решит, что в "попугаях" (отношениях сил) он подлиннее будет. Да разве из  РАССМОТРЕНИЯ  СИЛ  для Луны и Земли можно увидеть хоть какой-нибудь намёк на то, что они одновременно падают  практически С ОДНИМ  И  ТЕМ ЖЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ центростремительным УСКОРЕНИЕМ к Солнцу?

   Поскольку Луна изменяет своё расстояние до Солнца относительно орбиты Земли максимум на  ~ 405 700км, то это приводит к изменению относительно среднего солнечного гравитационного ускорения для Луны  (5,98 ·10-3 )  на  +- 0.03[м/сек2], что составляет не более, чем  +- 0.5% в моменты нахождения Луны в областях, близких к прямой линии Солнце-Земля, т.е. в моменты новолуния или полнолуния. Поэтому  с достаточной для практики точностью, можно считать гравитационное поле Солнца  практически  ОДНОРОДНЫМ (постоянным) вдоль траектории Земли и в пределах области, «ометаемой» радиусом-вектором Луны в относительном вращении вокруг Земли.

 

   В третьих,  однородность (постоянство) центростремительного ускорения означает, что ВСЕ тела, вращающиеся вокруг Земли (предлагаю назвать  их  «Земной группой тел», включая Луну и орбитальные спутники Земли или Луны), вместе со своим местным основным «гравитатором» (Землёй) свободно падают на Солнце  с практически одним и тем же центростремительным гравитационным ускорением.

    Примечание:   слово «гравитатор», удобное для рассуждений, присваиваем САМОМУ массивному телу из некоторой совокупности тел составляющих гравитационную группу, УДЕРЖИВАЕМУЮ этим «гравитатором» на орбитах вокруг себя на его гравитационном "поводке". Именем «гравитатора» и называется группа рассматриваемых тел, вращающихся вокруг него. Например, Солнечная система («гравитатор» - Солнце,  которое удерживает все планеты с их спутниками и прочие тела Солнечной системы),  Земная группа тел («гравитатор» - Земля, удерживающая  Луну и все их спутники).

        Возникает вполне очевидная идея мысленно ВЫЧЕСТЬ ПОСТОЯННЫЙ  ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ от Солнца  из центра масс каждого тела Земной группы (включая и Землю)   ведь ПРИ  ЭТОМ ПРАКТИЧЕСКИ НИЧЕГО  НЕ  ИЗМЕНИТСЯ  В  ОТНОСИТЕЛЬНЫХ  движения тел Земной группы, т.к. они в наших расчётах ВСЕ  ПЕРЕСТАНУТ ОДИНАКОВО УСКОРЯТЬСЯ к центру масс Солнца, сохраняя относительные скорости и положения между собой, а в уравнениях для тел останутся лишь ускорения от ВЗАИМНЫХ ПРИТЯЖЕНИЙ МЕЖДУ ВСЕМИ ТЕЛАМИ ЗЕМНОЙ ГРУППЫ. Эта идея не нова и была высказана ещё А.Эйнштейном  в его мысленном примере со СВОБОДНО ПАДАЮЩИМ к центру Земли ЛИФТОМ  и телами в нём (так называемый «Лифт Эйнштейна»).   Если сказать кратко, то  это метод ОБРАЩЕНИЯ движения в обратную сторону на  одну и ту же величину вектора гравитационного ускорения от Солнца для рассматриваемой нами Земной группы тел. 

   Такой подход  фактически приводит к  ЗАМЕНЕ  СИСТЕМЫ  КООРДИНАТ для расчёта траекторий:   вместо  СОЛНЕЧНОЙ  СИСТЕМЫ  КООРДИНАТ (с полной постановкой задачи движения для "трёх тел", учитывающей ускоренное движение к Солнцу и, естественно, с расстояниями в ~150 млн.км от Солнца до Земли и Луны)  ПЕРЕХОДИМ  К ЗЕМНОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ (невращающейся) СИСТЕМЕ КООРДИНАТ с рассмотрением задачи движения "двух тел", в которой  УЖЕ НЕТ УЧЁТА ВЛИЯНИЯ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ СОЛНЦА, а  расстояния не превышают размеров самых дальних орбит для Земной группы тел, например, для Луны с радиусом орбиты до  ~400 тыс.км. 

     Кстати, в солнечной системе координат траектория Луны выглядит весьма необычно для земного наблюдателя: в виде узенькой растянутой спиральки намотанной на почти круговую орбиту Земли  с 13 периодами спиральки (полнолуний)  за год обращения Земли вокруг Солнца, и амплитудой отклонений  Луны  от орбиты Земли +- 0,4 млн.км при радиусе орбиты Земли 149,6 млн.км. Но этот вид доступен для наблюдателя из космоса, находящегося над Солнцем и смотрящего по нормали  на плоскость орбиты Земли.

    Конечно, надо сразу отметить, что этот приём НЕ АБСОЛЮТНО ТОЧЕН, А ПРАКТИЧЕСКИ ТОЧЕН, поскольку гравитационное поле от ускорения притяжения Солнцем  Земли и Луны  немного ИЗМЕНЯЕТСЯ  ПО ВЕЛИЧИНЕ (+- 0.5%  в крайних участках  орбиты Луны относительно Солнца из-за изменения расстояния до него, да И ПО НАПРАВЛЕНИЮ (из-за вращения Земли вокруг Солнца в один оборот за год), что и приводит к НЕОДНОРОДНОСТИ этого поля, которая повлечёт за собой постепенное накопление ошибок в расчётах в сравнении с  полной постановкой движения "трёх тел" в Солнечной системе координат. Однако это весьма небольшие относительные ошибки второго порядка малости  и их можно устранить несложными мерами.   

  В итоге, с  достаточной  для практики точностью, можно рассчитывать относительные траектории тел внутри Земной группы в ЗЕМНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ с учётом всех  внутренних гравитационных сил взаимного притяжения между телами земной группы,  ПОЛНОСТЬЮ ИСКЛЮЧИВ  из уравнений движения УЧЁТ ВНЕШНЕГО ДЛЯ ЗЕМНОЙ ГРУППЫ ТЕЛ центростремительного УСКОРЕНИЯ ОТ СОЛНЦА С УЧЁТОМ ЕГО ПРАКТИЧЕСКОЙ ОДНОРОДНОСТИ для сегодняшней орбиты Луны вокруг Земли.

   Как оказалось, практически  нас не должны  волновать силы притяжения Солнцем Луны и Земли при рассмотрении  вращения Луны вокруг Земли.  Зря в рассматриваемом вопросе сравнивается сила взаимного притяжения Луны и Земли с силой притяжения от Солнца, т.к. силы притяжения Солнца сообщают ВСЕМ ТЕЛАМ Земной группы  ОДИНАКОВЫЕ центростремительные УСКОРЕНИЯ, которые «работают» ЛИШЬ НА ПЛАВНОЕ ИСКРИВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ИХ ПОЛЁТА вокруг Солнца, ПРАКТИЧЕСКИ ОДИНАКОВОЕ ДЛЯ ВСЕЙ  ЗЕМНОЙ ГРУППЫ ТЕЛ:  Земли  (до почти круговой орбиты) и  Луны с едва заметной (под микроскопом) спиралевидностью  относительно основной круговой орбиты Земли из-за того что она является спутником Земли), практически не влияя при этом на относительные движения тел Земной группы.   Благодаря  хорошей ОДНОРОДНОСТИ гравитационного ускорения от Солнца в области орбит Земной группы тел нет и практически заметного влияния Солнца на относительную траекторию Луны вокруг Земли. В итоге, удалось упростить расчёт траекторий с полной постановки "задачи трёх тел" (Солнце, Земля и Луна) до более простой "задачи двух тел" (Земля и Луна), отказавшись при этом от учёта сил притяжения Солнцем на Землю и Луну из-за практического равенства ускорений, вызываемых этими силами. 

 Для дальнейшего повышения точности расчётов в Земной системе координат очевиден весьма простой и понятный способ повышения точности расчётов в Земной инерциальной системе координат за счёт введения небольших ВЕКТОРНЫХ ПОПРАВОК к УСКОРЕНИЯМ всех тел Земной группы, вычисленных в виде ПРИРАЩЕНИЯ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ОТ УЧИТЫВАЕМОГО ВОЗМУЩАЮЩЕГО ФАКТОРА:  ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ  для каждого из анализируемых тел, (в нашем случае Луны),  ОТНОСИТЕЛЬНО ЗНАЧЕНИЯ ЭТОГО ЖЕ ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ В ЦЕНТРЕ ЗЕМНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, в котором поправка , естественно, всегда нулевая по определению!  Действительно, ну зачем учитывать полный эффект от практически одинакового для всех тел полного вектора ускорения от Солнца (нас ведь не интересует как все тела  с одинаковым ускорением "падают" на Солнце, а круговую орбиту Земли мы можем рассчитать отдельно, да и от траекторных "спиралек" Луны в Солнечной системе координат нам нет никакого толку.   А вот для повышения точности расчёта траектории Луны относительно Земли, естественно, подходит Земная инерциальная (невращающаяся) система координат.  При этом целесообразно использовать метод ПОПРАВОК, состоящий в учете ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЯ ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ для каждого из  рассматриваемых тел относительно значения  этого же ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ в  центре Земной инерциальной системы координат, иначе говоря, ЭТО ТОЧНЫЙ УЧЁТ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОСТИ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ от притяжения Солнцем для Земной группы тел.

   Кстати, при таком  ВЕКТОРНОМ  подходе  УЧИТЫВАЮТСЯ  НЕ ТОЛЬКО ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИН ВЕКТОРНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ от ускорения притяжения Солнца, НО И МЕДЛЕННОЕ  ВРАЩЕНИЕ (поворот на один оборот за год)  ОДНОРОДНОГО "ПОЛЯ"  ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ОТ СОЛНЦА относительно начала Земной инерциальной (невращающейся) системы координат .  Информация о положении Солнца относительно Земной группы тел ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ТОЛЬКО ДЛЯ РАСЧЁТА НЕБОЛЬШИХ ПОПРАВОК ОТ ОДНИХ ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЙ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ  от Солнца С УЧЁТОМ НАПРАВЛЕНИЯ  на Солнце и  РАССТОЯНИЯ до него.  

   Нам ничто не помешает, применить этот же подход к учёту гравитационных возмущений от любых планет Солнечной системы.  Аналогично можно применить эту методику для расчета движения, например,  «лунника», вышедшего на орбиту вокруг Луны уже в Лунной системе координат, игнорируя  при этом полный вектор ускорения притяжения от Земли, но учитывая его неоднородность (изменение) относительно центра масс Луны для спутника на орбите Луны методом поправок (приращений) и также поступить с векторами любых других возмущающих ускорений, например,  от Солнца и остальных его планет. При этом придётся определять НАПРАВЛЕНИЯ и РАССТОЯНИЯ  до учитываемых "возмутителей" с их ГРАВИТАЦИОННЫМ ВОЗМУЩАЮЩИМ УСКОРЕНИЕМ, НО НЕ В ЕГО ПОЛНОМ ВИДЕ, а только В ВИДЕ ВЕКТОРНОГО ОТКЛОНЕНИЯ (приложенного в рассчитываемому телу ) ОТ ЕГО ЖЕ возмущающего ЗНАЧЕНИЯ относительно центра выбранной системы координат, т.е. с учётом только  одной НЕОДНОРОДНОСТИ от возмущающего ускорения. 

   В итоге,  вопрос о возможном сходе Луны с орбиты вокруг Земли с УЧЁТОМ  РАССМОТРЕНИЯ  ВЕЛИЧИН СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ (или СООТНОШЕНИЯ СИЛ ), ДЕЙСТВУЮЩИХ на Луну  от Солнца и от Земли ,  НЕ МОЖЕТ ДАТЬ, в принципе,  ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА из-за своей  ОШИБОЧНОСТИ  по причине  ПРАКТИЧЕСКИ НЕЗАМЕТНОГО ВЛИЯНИЯ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА НА ОРБИТУ Луны вокруг Земли ПРИ СУЩЕСТВУЮЩИХ на сегодня РАССТОЯНИЯХ от Земли до Луны (~ 400 тыс.км).      Из всего вышеизложенного вытекает, что ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ РАСЧЁТОВ ТРАЕКТОРИЙ ТЕЛ ВМЕСТО ПОЛНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем по законам механики  НЕОБХОДИМО УЧИТЫВАТЬ ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЕ ЭТОЙ ЖЕ СИЛЫ,  зависящее от  разности расстояний  Луны и Земли относительно Солнца, иначе говоря, надо рассматривать влияние на орбиту Луны вокруг Земли ТОЛЬКО НЕОДНОРОДНОСТИ (ПРИРАЩЕНИЯ) СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Солнца, вычисляемую относительно Земли.  

   Если теоретически рассмотреть постепенное  увеличение размеров орбиты Луны  относительно существующей на сегодня, то рост неоднородности  притяжения Солнца приведёт к нарастающему смещению (деформации) условной середины орбиты Луны оносительно Земли в сторону Солнца вплоть до момента схода Луны с орбиты Земли  на минимальных расстояниях от Солнца, когда ПРИРАЩЕНИЕ силы притяжения Луны Солнцем (рассчитанное относительно значения этой же силы для центра масс Земли) , отрывающее Луну от Земли,  приблизится по своей величине к силе притяжения Луны Землёй  и скомпенсирует её воздействие на Луну.    Здесь, для простоты рассуждений, допустимо рассуждать в терминах сил, поскольку все они воздействуют на одно и то же тело (Луну), но надо всегда переходить от сил, поделив их на массу тела,  к ускорениям тела.

  Однако вернёмся от катаклизмов к устоявшимся веками орбитам космичесих тел: ЛЮБАЯ ПЛАНЕТА со своими спутниками в Солнечной системе  ЯВЛЯЕТСЯ в гравитационном рассмотрении  вполне АВТОНОМНОЙ (самостоятельной) СИСТЕМОЙ, неплохо "защищающей" орбиты своих спутников от гравитационного влияния (возмущения) ВНЕШНЕГО "гравитатора" ( например, Солнца)  по отношению к местному "гравитатору" (Земле) БЛАГОДАРЯ НАЛИЧИЮ в определённой окрестности относительно центра масс местного "гравитатора"  ЗОНЫ С ХОРОШЕЙ ОДНОРОДНОСТЬЮ гравитационного УСКОРЕНИЯ ПРИТЯЖЕНИЯ  ОТ ВНЕШНЕГО "ГРАВИТАТОРА" из-за большого расстояния до него.

 А ведь, действительно, в чём-то и правы оказались наши предки,  считая, что Солнце вращается вокруг Земли  и поэтому мы можем спокойно не учитывать его влияния на наши дела в Земной группе.  И хотя это, конечно же,  шутка, но в ней есть и большая доля правды: каждый  МЕСТНЫЙ  "ГРАВИТАТОР" со своей группой тел  ПО  ОТНОШЕНИЮ  К  СВОЕМУ  ВНЕШНЕМУ  "ГРАВИТАТОРУ"  ЯВЛЯЕТСЯ ЕГО  УМЕНЬШЕННОЙ МАЛОЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ  И  ВПОЛНЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ  КОПИЕЙ, например, Земная группа тел является малой копией самой Солнечной системы.   Земная группа тел всегда готова отправиться в самостоятельный полёт в космос, покинув Солнечную систему,  вместе со своими спутниками и Луной в поисках нового для себя внешнего "гравитатора", если сможет сойти с орбиты вокруг Солнца, получив, например, необходимую для этого немалую дополнительную скорость для этого ухода, например, за счёт появления большой неоднородности возмущающего ускорения при сближении двух разных галактик на близкое расстояние.  Так же и  Солнечная система, в свою очередь, является миниатюрной копией звёздного скопления нашей галактики «Млечный путь», а наша галактика  - миниатюрой копией в  ближайшем скоплении  галактик  в  Метагалактике и т.д.    Причём каждая из них живёт по своим гравитационным законам от своего основного местного «гравитатора» для рассматриваемой группы тел, траектории которых могут заметно возмущаться в движениях вокруг него ЛИШЬ ПРИ ДОВОЛЬНО БОЛЬШИХ НЕОДНОРОДНОСТЯХ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ от вышестоящего по иерархии БЛИЖАЙШЕГО  ВНЕШНЕГО «ГРАВИТАТОРА».  Чёткая гравитационная иерархия, напоминающая армейскую иерархию (Главнокомандующий руководит Всеми починёнными ему силами через приказы своему ближайшему, нижестоящему по должности, командующему, а тот - своему нижестоящему  и т.д.  до солдата. Вот только интересно, кто выступает в  роли Главнокомандующего "гравитатора" в космосе, очень надеюсь,  что  это не "тёмные" силы, а что-то светлое).

   Как видим, вышестоящий по массе «гравитатор», например, Солнце, не даст раздуться "местной лягушке" (Земной группе тел) "до размеров вола" за счёт высоких орбит её спутников, и сорвёт их с орбиты вращения вокруг Земли за счёт неоднородности своего влияния, сделав их своими солнечными спутниками.  Луна пока ещё  спутник Земли, но если она будет и дальше по непонятным причинам продолжать удаляться от Земли на несколько сантиметров в год, то сойдёт с орбиты спутника Земли на самостоятельную солнечную орбиту, избавившись при этом от существующих сейчас малозаметных 13 годовых спиралек на своей новой солнечной орбите и может быть повышена до статуса планеты, а  нашим потомкам придётся создавать искусственное освещение в ночное время с земной орбиты спутниковыми "зонтиками" из почти невесомой отражающей солнечный свет плёнки (это уже не шутка:  китайцы уже провели первые орбитальные испытания  с целью экономии на освещении по ночам).

   Поскольку "повторение - мать учения", то подведём основные итоги:

1. Надо быть внимательными при постановке задач расчёта траекторий и учитывать влияние притяжения от какого-либо тела для всех остальных рассматриваемых тел  БЕЗ  ИСКЛЮЧЕНИЙ.  Если, например,  учитываем притяжение Луны Солнцем, то это уже задача движения "Трёх тел", рассматриваемая в Солнечной системе,  и необходимо учесть так же и силу притяжении Земли Солнцем.

2.     Крайне  ОШИБОЧНО  пытаться  оценивать движение тел (хотя бы и качественно: сойдёт или не сойдёт Луна с орбиты вращения вокруг Земли)  ПО ВЕЛИЧИНАМ СИЛ, действующих на них, ИЛИ ИХ ОТНОШЕНИЯМ!   Необходим ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ учёт влияния МАССЫ ТЕЛ (как  их характерного свойства ИНЕРЦИОННОСТИ сопротивляться разгону по воздействием силы) для   ПЕРЕСЧЁТА действующих на тела СИЛ в соответствующие им УСКОРЕНИЯ  (путём деления результирующей силы на величину массы тела по второму закону механики),  которые и позволят решить все задачи движения (определить  скорость и траекторию тела путём интегрирорования ускорения и скорости тела.).

3.    С достаточной для практики точностью  МОЖНО  НЕ  УЧИТЫВАТЬ  ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ СОЛНЦА на траектории спутников Земли  (например, вращения Луны вокруг Земли)  и рассчитывать траектории в Земной инерциальной (невращающейся) системе координат благодаря  практически однородному (постоянному) вектору гравитационного Солнечного ускорения , поскольку ускоренное падение ВСЕХ тел Земной группы (Земли и Луны) с одним и тем же по величине ускорением в сторону Солнца практически не влияет на относительные движения тел, вызываемых внутренними силами гравитации между телами Земной группы.     Для повышения точности расчётов траекторий тел в Земной системе координат достаточно ввести УЧЁТ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ от Солнца  за счёт применения метода ПОПРАВОК (или иначе,  ПРИРАЩЕНИЙ), состоящий в учете ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЯ ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ для каждого из тел относительно значения  этого же ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ в  центре Земной системы координат, что позволяет учесть влияние ТОЛЬКО НЕОДНОРОДНОСТИ гравитационного поля от Солнца вокруг Земли (без рассмотрения влияния полного значения этого вектора).

4.    И всё-таки Луна, несмотря на все «теории»,  ЯВЛЯЕТСЯ СПУТНИКОМ ЗЕМЛИ  для земных наблюдателей и продолжает  вращаться, в целом,  согласно всем законам классической механики, включая закон всемирного притяжения Ньютона,  о чём свидетельствуют также и расчёты автора этого комментария по своей программе, специально созданной для решения задачи движения 4-ёх космических тел в полной постановке (см. уравнения движения на примере Задачи трёх тел в книге Г.Н.Дубошина «Небесная механика. Основные задачи и методы» Издательство «Наука», 1968г,  Глава XIV. «Задача трёх тел», стр. 730-731, выр. 14.1` и 14.2`).  

5.  Главный вывод.  Из всего вышеизложенного вытекает, что рассматриваемый вопрос был сформулирован с точки зрения законов физики НЕГРАМОТНО и влечёт за собой "бытовой" вывод о "неработающем" законе всемирной гравитации Ньютона, якобы не объясняющему эффект от сравнения величин сил, приложенных к Луне, и явно противоречащий наблюдаемой нами при этом действительности - стабильному вращению Луны вокруг Земли. Виноват не закон, а ошибочное, навязанное вопросом,  сравнение сил, действующих на Луну.  Не надо рассматривать никаких СООТНОШЕНИЙ СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ  Луны к Солнцу и Земле при анализе вращения Луны вокруг Земли, т.к. они абсолютно бесполезны, как мартышке очки.   ОШИБКА СОСТОИТ В УЧЁТЕ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем, которая ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ВЛИЯЕТ на относительное вращение Луны вокруг Земли при сегодняшней  величине  орбиты Луны (её апогее и перигее). 

    ВМЕСТО ПОЛНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем НЕОБХОДИМО УЧИТЫВАТЬ_ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЕ ОТ ЭТОЙ ЖЕ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС Земли, зависящее от  разности расстояний  Луны и Земли относительно Солнца.  Поскольку анализируется движение Луны вокруг Земли, то и приращение определяется относительно центра масс Земли.   ПРИРАЩЕНИЕ от силы притяжения Луны Солнцем по аналогии с математикой означает взятие  дифференциала от силы, а не учёт текущей величины силы, а это две большие разницы.    Иначе говоря, надо рассматривать наряду с силой притяжения Луны Землёй  НЕ  ВЕЛИЧИНУ СИЛЫ  ПРИТЯЖЕНИЯ  Луны Солнцем,  а  только влияние её  ПРИРАЩЕНИЯ (НЕОДНОРОДНОСТИ) относительно  Земли.   И, естественно, необходимо  всегда пересчитывать силы в ускорения, как того требует второй закон механики, для проведения дальнейших расчётов скорости и траектории рассматриваемого тела за счёт первого и второго интегрирования суммарного вектора ускорения центра масс тела в выбранной системе кординат (так называемый "расчёт динамики движения" тела).

Так что студентам не стоит сомневаться в законах Ньютона: они проверены столетиями наблюдений и практикой их применения. Хотя и несущественные поправки возможны, но только из-за влияния пока неизвестных источников космических гравитационных возмущений. 

 В заключение две цитаты:

«В истории естествознания не было события более крупного, чем появление «Начал» Ньютона. »    С.И.Вавилов.   

  ( С.И.Вавилов (1891-1951) - советский физик, основатель научной школы физической оптики в СССР, действительный член (1932) и президент АН СССР (1945-1951), общественный деятель и популяризатор науки. Лауреат четырёх Сталинских премий.)

 ( Первый том «Начал» с изложением трёх законов механики  Исаак Ньютон (1642-1727) представил Королевскому обществу  в 1686г., а  полностью труд Ньютона под названием «Математические начала натуральной философии» (или на современном языке «Математические основы физики» ) в трёх томах вышел через год, в 1687г. тиражом около 300 экземпляров.    Два экземпляра этого редчайшего издания хранятся в России; один из них Королевское общество в годы войны (1943) подарило Академии наук СССР на празднование 300-летнего юбилея Ньютона.  Талантливый перевод (с учётом терминов современной механики)  "Начал" Ньютона с латинского (научного языка для того времени) на русский язык был сделан в 1916г. известным теоретиком и практиком кораблестроительного дела А.Н.Крыловым (1863-1945). . Он дополнил текст Ньютона более чем 200 замечаниями.)

«Законы классической механики и вытекающие из них логические следствия ... с высокой точностью описывают и предопределяют движение и равновесие макротел в природе и механике, служат надёжным фундаментом как практических расчётов, так и исследований в области физики и других естественных наук.»      А.Ю. Ишлинский (Заключение из книги "Классическая механика и силы инерции")

     (А.Ю. Ишлинский (1913-2003) - академик АН СССР, а затем РАН, доктор ф-м наук и профессор МГУ, директор Института механики и Проблем механики, лауреат Ленинской и Государственных приемий СССР и РФ., посвятивший свою научную и профессиональную деятельность решению сложнейших задач космической механики в области динамики твёрдого тела и теории гироскопов, работал совместно с  С.П.Королёвым и М.В.Келдышем. Его книгу "Классическая механика и силы инерции" (320стр.) настоятельно рекомендую всем интересующимся механикой в качестве первого основного пособия по классической механике.)

 

 

   P.S.  Вопрос закрыт.  Луна продолжает оставаться спутником Земли, несмотря ни на какие удивительные, на первый взгляд, отношения сил, действующих на неё. Надеюсь, что этот комментарий кому-то помог понять какие силы реально определяют вращение Луны вокруг Земли с точки зрения законов механики. 

   Кстати, в  нижеприведенных комментариях прошлых лет по данному вопросу о Луне увидел типичные неграмотные попытки объяснять что-либо с использованием термина "ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ СИЛЫ" без оглядки на то, в какой системе координат рассматривается данный вопрос.    Да  НЕТ  ЭТОЙ  ФИКТИВНОЙ  силы, как  и, так называемых, СИЛ ИНЕРЦИИ  в  РЕАЛЬНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ и соответственно в ИНЕРЦИАЛЬНЫХ (невращающихся) системах координат.   ЗАБУДЬТЕ про них в инерциальных системах, как кошмарный сон!    Для расчёта параметров космической ТРАЕКТОРИИ ТЕЛА, как и в данном комментарии, ИСПОЛЬЗУЮТСЯ  ТОЛЬКО  ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ системы, в которых единственными учитываемыми силами являются силы гравитационного взаимного притяжения между всеми рассматриваемыми телами без всяких там центробежных сил инерции.   ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ СИЛЫ  как силы инерции во вращательном движении ВЫНУЖДЕННО ВВОДЯТСЯ ТОЛЬКО В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ  ВРАЩАЮЩИХСЯ системах ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ ИЗ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ТЕЛА в такой вращающейся системе! Большое спасибо за это Д'Аламберу, Лагранжу и Эйлеру.

   Вот, например, почему геостационарный спутник, с которого принимаются сигналы ТВ за счёт НЕПОДВИЖНОЙ земной спутниковой антенны,  не падает  с орбиты под действием силы притяжения Земли, хотя и висит всё время НА ОДНОЙ  И ТОЙ ЖЕ ВЫСОТЕ В ПЛОСКОСТИ  ЭКВАТОРА ЗЕМЛИ  над одним и тем же местом над Землёй (в зените прямо над чьей-то головой) ?  Да потому, что мы разглядываем его, находясь на поверхности Земли, которая ВРАЩАЕТСЯ с угловой скоростью один оборот в сутки, т.е. в НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ системе, и чтобы получить в этой системе ПРАВИЛЬНЫЙ результат (постоянную высоту спутника, а не его ускоренное свободное падение )  БЫЛИ ПРОСТО ВЫНУЖДЕНЫ ДОБАВИТЬ  в УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ  к силе притяжения спутника Землёй ФИКТИВНУЮ,  НЕСУЩЕСТВУЮЩУЮ  в природе, так называемую, ЦЕНТРОБЕЖНУЮ СИЛУ, численно равную РЕАЛЬНОЙ силе притяжения спутника к Земле,  но  НАПРАВЛЕННУЮ В ОБРАТНУЮ СТОРОНУ так, что, в итоге,  СУММА СИЛ, действующих на спутник, ОБНУЛЯЕТСЯ И спутник не падает в такой вращающейся системе координат.  А вот в инерциальной НЕвращающейся системе, направленной на какую-либо далёкую неподвижную звезду и началом координат в центре масс Земли,  на спутник действует ТОЛЬКО ОДНА ЕДИНСТВЕННАЯ  РЕАЛЬНАЯ НЬЮТОНОВСКАЯ СИЛА - СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ к Земле (она же ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНАЯ СИЛА), под действием которой он ВСЁ ВРЕМЯ ФАКТИЧЕСКИ свободно ПАДАЕТ к центру Земли, но БЛАГОДАРЯ НАЛИЧИЮ у него  орбитальной скорости, соответствующей значению первой космической скорости (~7,9 км/сек),   центростремительное ускорение от воздействия силы притяжения СПОСОБНО ТОЛЬКО ПОВОРАЧИВАТЬ ВЕКТОР ОРБИТАЛЬНОЙ СКОРОСТИ СПУТНИКА, не меняя его величины, что и приводит к получению из уравнений движения тела к круговой орбите вокруг Земли). А теперь оцените разницу: в "инерциалке" мы получили расчёт траектории тела, его круговую орбиту, а  в "неинерциалке" имеем лишь  баланс взаимно уравновешенных сил реальной (сила притяжения) и фиктивной (центробежная), т.е "замороженную" во времени, СТАТИЧНУЮ картинку расположения тел друг относительно друга и, естественно, постоянную высоту спутника  и накаких траекторий полёта.  Так что, если вам "ехать" (рассчитывать орбиту тела), а  не любоваться "шашечками" на такси,  то Вам прямой путь в ИНЕРЦИАЛЬНУЮ систему координат, где нет НИКАКИХ фиктивных ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ, а только физические реальные и понятные, так называемые, Ньтоновские силы гравитационного притяжения  (см. выше упомянутую книгу А.Ю. Ишлинского).   В качестве типичного примера использования статики тел в НЕИНЕРЦАЛЬНОЙ системе можно назвать  рисунок со "сферой Хилла" (см.его в интернете), где рассмотрено положение 5 "либрационных" точек (L1-L5)  с так называемым "равновесным" состоянием для мелких тел относительно Солнца и Земли, ПОЛУЧЕННЫЙ в НЕинерциальной вращающейся системе координат с продольной осью направенной из центра масс Солнца к центру масс Земли (точнее из барцентра - общего центра, вокруг которого вращается не только Земля, но и Солнце с весьма небольшим радисом орбиты вокруг барцентра) и вращающеся с угловой скоростью вращения Земли вокруг Солнца, но теперь уже с учётом, естественно,  центробежных сил, приложенных КО ВСЕМ рассматриваемым телам, не  исключая даже  Солнца из-за его вращения вокруг барцентра.

  Примечание: Конечно же, надо отметить, что именно в НЕинерциальных системах и проводятся самые сложные расчёты траекторий и динамических нагрузок (зачем тогда был бы нужнен курс Теоретической механики), например, в сложных механизмах машин для определения динамических и инерционных нагрузок (теперь уже с обязательным учётом всех видов "сил инерции", а точнее , ускорений от них (переносное,  кориолисовое и ускоренно-вращательное, появляющееся только при ускоренном вращении неинерциальной ситемы координат). Однако для расчётов траекторий тел в космосе по причине  их простоты относительно  сложных механизмов целесообразно применять  инерциальные системы координат, где "царствуют" только Ньютоновские силы взаимного гравитационного притяжения между телам и нет, даже в помине, фиктивных сил инерции в том числе и центробежной силы, побившей все мыслимые и немыслимые рекорды по её бездумному применению там, где её никогда не должно быть, а именно в инерциальных системах координат (невращающихся и движущихся без линейного ускорения их начала координат).   

     А вот вопрос об оценке величины "критического" расстояния Луны от Земли, при котором Луна безусловно сойдёт с орбиты вокруг Земли и перестанет быть спутником Земли , а так же размышления  о впечатляющем изобилии разных сфер для Земли ( "сфера действия", "сфера влияния", "сфера притяжения" и "сфера Хилла")  обсудим в другом комментарии.

  16 декабря 2019г. 20.40 время московское.

 

Простой и исчерпывающий ответ на поставленный вопрос можно найти у корифея астрономии Константина Владиславовича Холшевникова.

Ваши комментарии и статьи на данном сайте не остаются без внимания. Они воспринимаются, как добросовестный бескорыстный труд целеустремлённого человека. И обязательно будут оценены не только близкими Вам людьми.

Ваш высокий образовательный уровень вызывает уважение.

Ingus:

Простой и исчерпывающий ответ на поставленный вопрос можно найти у корифея астрономии Константина Владиславовича Холшевникова.

При всём уважении к Константину Владиславовичу Холшевникову (к сожалению, его имя известно сейчас только профессиональным астрономам), ответ воспринимается далеко не просто молодым поколением. Но Ваша ссылка очень полезна для тех, кому необходимо докапываться до сути.

Почему же Солнце не отрывает Луну от Земли?

(«Повторение – мать учения»)

  Это происходит оттого, что Солнце притягивает не только Луну, но и Землю. Чтобы разорвать связь между Луной и Землей, Солнце должно придать этим телам сильно отличающиеся друг от друга ускорения.

   Но в действительности разность ускорений Земли к Солнцу и Луны к Солнцу не так уж велика. Она ведь зависит от разности расстояний Луны и Земли от Солнца, а эти расстояния отличаются не более, чем на 380 000 км. В результате ускорение Луны к Земле оказывается больше разности ускорений, сообщаемых Солнцем Земле и Луне, в 90 раз. В этом состоит условие «неотрыва» Луны от Земли.

 Луна находится в сфере действия Земли относительно Солнца. Определение понятия «сфера действия» дано в начале изложения этой темы.

     Вот цитаты из статьи выдающегося ленинградского ученого К.В. Холшевникова, на которую ссылается Ingus:

   «Полученные оценки относительных величин сил (или, что то же, ускорений) описывают их влияние на траекторию Луны в инерциальной или близкой к ней гелиоцентрической системе отсчета. Но чаще всего нас интересует геоцентрическое движение. Сила, приводящая к ускорению даже в парсек за квадратную секунду, никак не отразится на движении Луны относительно Земли, если это ускорение одинаково для обоих тел, иными словами, если силовое поле однородно. Эффекты в геоцентрическом движении вызываются разностью ускорений поля в точках, где находятся центры масс Луны и Земли…

Оценки (6), (8) показывают, что Луна находится глубоко внутри сферы действия Земли.»

guryan не понял  ни объяснения К.В. Холшевникова, ни моего объяснения, не понял смысла сферы действия, по его « лихим» вычислениям:

guryan :

сила притяжения Луны к Земле в 160000 раз больше, чем к Солнцу... В полном согласии с законом всемирного тяготения старика Ньютона...

Поэтому я считаю, что его ирония  - неуместна.

Просматривая прежние материалы сайта, чтобы найти материал о зимнем солнцестоянии, с удивлением обратила внимание, что статья RMR_astra Что сильнее притягивает Луну: Земля или Солнце набрала свыше 18 тысяч (!) просмотров. Правда, статья была выставлена четыре года назад: давние статьи со временем набирают количество заходов, но эта статья явно выделяется на общем фоне. И поэтому повторно выставлена на первой странице.

У меня получилось:

  • сила притяжения Луны к Земле Fпр.Л.З. ≈ 1,98 * 1020 Н.
  • сила притяжения Луны к Солнцу Fпр.Л.С. ≈ 4,33 * 1020 Н.
  • их отношение Fпр.Л.С./Fпр.Л.З. ≈ 2,2.

Однако, не следует забывать, что Луна движется вместе с Землёй вокруг Солнца и это порождает центробежную силу Fцб.Л.С., отталкивающую её от Солнца, которая, собственно, и не даёт Луне оторваться от Земли и упасть на Солнце. Аналогично, движение Луны вокруг Земли порождает центробежную силу Fцб.Л.З. По моим расчётам:

  • Fцб.Л.С. ≈ 4,38 * 1020 Н.
  • Fцб.Л.З. ≈ 1,9 * 1020 Н.

Сумма всех сил, когда Луна находится в фазе новолуния:

Fпр.Л.С. - Fцб.Л.С. - Fпр.Л.З. + Fцб.Л.З. ≈ 0.

Приблизительность связана с приблизительностью взятых мною входных данных и неучётом более тонких вещей, вроде наклона плоскости орбиты Луны к плоскости эклиптики, эксцентричностью лунной орбиты и т.д.

Sol пишет:
Однако, не следует забывать, что Луна движется вместе с Землёй вокруг Солнца и это порождает центробежную силу Fцб.Л.С., отталкивающую её от Солнца, которая, собственно, и не даёт Луне оторваться от Земли и упасть на Солнце. Аналогично, движение Луны вокруг Земли порождает центробежную силу Fцб.Л.З. 
Уважаемый Sol, я от Вас такого не ожидал. Центробежные силы возникают при вращении непрерывного материального образования, в результате градиента линейных скоростей участков, находящихся на разных расстояниях от центра тяжести. Никаких центробежных сил при вращении небесных тел, вокруг друг друга, быть не может. Для этого между ними должна быть материальная связь. Веревочка, например. Видели, как в цирке фонглеры вращают шары, связанные веревочкой? Они вращаются вокруг общего центра тяжести, находящегося на веревочке. Силы притяжения, такой веревочкой служить не могут. Потому что они очень сильно убывают с расстоянием. А центробежные силы - наоборот, возрастают. Поэтому говорить, что Земля и Луна вращаются вокруг общего центра масс, на космическом сайте - опрометчиво. Они давным-давно бы разлетелись в разные стороны по касательным.

guryan пишет:
Уважаемый Sol, я от Вас такого не ожидал.

Вас ждёт ещё много неожиданностей в процессе освоения элементарной физики. :)

guryan пишет:
Никаких центробежных сил при вращении небесных тел, вокруг друг друга, быть не может. Для этого между ними должна быть материальная связь. Веревочка, например. Видели, как в цирке фонглеры вращают шары, связанные веревочкой? Они вращаются вокруг общего центра тяжести, находящегося на веревочке. Силы притяжения, такой веревочкой служить не могут. Потому что они очень сильно убывают с расстоянием. А центробежные силы - наоборот, возрастают.

Штука в том, что небесное тело устойчиво летает там и только там, где эти силы уравновешены друг другом. Оно не может летать по (круговой) орбите на данном расстоянии с произвольной скоростью. Только с вполне определённой, соответствующей равенству этих сил. Например, вблизи Земли – только с 1-й космической. Чуть затормозится – перейдёт на более низкую эллиптическую орбиту и может упасть. Чуть ускорится – перейдёт на более высокую эллиптическую орбиту.

guryan пишет:
... говорить, что Земля и Луна вращаются вокруг общего центра масс, на космическом сайте - опрометчиво. Они давным-давно бы разлетелись в разные стороны по касательным.

Так почему же тогда Луна не падает на Солнце?

Sol пишет:
Вас ждёт ещё много неожиданностей в процессе освоения элементарной физики. :)
Да я в этом не сомневаюсь.:-))

Sol пишет:
Штука в том, что небесное тело устойчиво летает там и только там, где эти силы уравновешены друг другом. Оно не может летать по (круговой) орбите на данном расстоянии с произвольной скоростью. Только с вполне определённой, соответствующей равенству этих сил. Например, вблизи Земли – только с 1-й космической. Чуть затормозится – перейдёт на более низкую эллиптическую орбиту и может упасть. Чуть ускорится – перейдёт на более высокую эллиптическую орбиту.
С шуткой согласен. Спутник может долго и устойчиво летать только на круговой орбите с 1-й, для данной высоты космической скоростью. И при условии, что высота орбиты такова, что влияние сопротивления атмосферы исключено.

Что касается эллиптической орбиты, я просмотрел это несколько десятков раз, получается, что орбита не может быть эллиптической. Или точка фокуса эллипса не может совпадать с центром тяжести земли. (Дело в том, что я вижу это в сознании. Я могу прокручивать движение голове, как в объемном кино, вперед и назад. Случилось это в далеком детстве, и я напишу об этом на Вашем сайте «Солярис». С Вашего, конечно, разрешения.)

Дело в том, что если центр тяжести земли совпадает с точкой фокуса эллипса, то часть траектории спутника (в правой части рисунка, который вы правили), представляет собой часть окружности. При движении по ней, силы, действующие на спутник, уравновешены. Радиус орбиты на этом участке постоянен. Скорость совпадает с 1-й космической. То есть спутник движется по эквипотенциальной кривой, и никакой разности потенциалов на него не дейстствует.  Тогда с какой радости, он начинает двигаться по эллипсу? То есть, по сути, увеличивать высоту. Если не включали двигатель коррекции, то тут могут быть лишь две причины. Либо фокус эллипса не совпадает с центром тяжести Земли, либо орбита не эллиптическая. Скорее всего, она просто овальная.

Если орбита не круговая, то в любой точке на спутник должна действовать некоторая разность гравитационных потенциалов, от которых и будет зависеть форма орбиты. А математика ведь наука не точная, да и оперирует абстрактными понятиями. А природа, она - реальна...

Sol пишет:
Так почему же тогда Луна не падает на Солнце?
Ну, во первых, у Луны есть Земля. А во вторых, на таких расстояниях, движение по орбитам обусловлено не столько силами притяжения, а сколько, совершенно другими механизмами. Механизмом волнового взаимодействия (http://www.spacephys.ru/za-bednuyu-massu-zamolvite-slovo).

Более того, даже если бы Луна вдруг полетела в сторону Солнца, она все равно бы не упала на него. Она была бы отклонена солнечным ветром и оказалась на вытянутой орбите, пролетев в непосредственной близости от Солнца, как комета Лавджоя…

Все. Ответ будет с запозданием, интернет в палате запрещен…

guryan пишет:
С шуткой согласен. Спутник может долго и устойчиво летать только на круговой орбите с 1-й, для данной высоты космической скоростью. И при условии, что высота орбиты такова, что влияние сопротивления атмосферы исключено.

Что касается эллиптической орбиты, я просмотрел это несколько десятков раз, получается, что орбита не может быть эллиптической. Или точка фокуса эллипса не может совпадать с центром тяжести земли.

Я тоже оценил Ваш юмор. Особенно после того, как Виктор Михайлович уже объяснил, как движутся реальные, а не математически «неточные» и «абстрактные» спутники.

guryan пишет:
Я могу прокручивать движение голове, как в объемном кино, вперед и назад.

Явление интересное, но само по себе оно доказательством истинности не является. Пациенты некоторых больниц видят и не такое кино, да ещё и озвученное. :) Пока это Ваше «кино» не проверено логикой и экспериментом, это – не более, чем Ваша вера, пусть и образная. Об этом я уже писал. Только после такой проверки вера становится надёжным знанием, или отбрасывается, как суеверие.

guryan пишет:
Случилось это в далеком детстве, и я напишу об этом на Вашем сайте «Солярис». С Вашего, конечно, разрешения.

Если Вы будете себя вести корректно по отношению к собеседникам, я не против. Это интересное психологическое явление, почему бы его не обсудить. Создайте в разделе «Психология» форума Соляриса новую тему и опишите в заголовке темы эту Вашу способность.

guryan пишет:
Дело в том, что если центр тяжести земли совпадает с точкой фокуса эллипса, то часть траектории спутника (в правой части рисунка, который вы правили), представляет собой часть окружности. При движении по ней, силы, действующие на спутник, уравновешены. Радиус орбиты на этом участке постоянен. Скорость совпадает с 1-й космической. То есть спутник движется по эквипотенциальной кривой, и никакой разности потенциалов на него не дейстствует.  Тогда с какой радости, он начинает двигаться по эллипсу? То есть, по сути, увеличивать высоту.

В точках апогея и перигея центробежная сила и сила гравитации не уравновешены друг другом и скорости не равны первым космическим для данных расстояний. В апогее сила гравитации больше центробежной силы, скорость меньше первой космической и поэтому спутник стремится упасть на Землю, но вследствие наличия тангенциальной скорости, «пролетает мимо» неё. А в перигее центробежная сила больше силы гравитации, скорость больше первой космической и спутник стремится улететь от Земли.

guryan пишет:
Ответ будет с запозданием, интернет в палате запрещен…

Что ж, это многое объясняет.

 

P.S. Простите, не сдержался :)

RMR_astra пишет:
Диаметр сферы действия Земли всего 1 миллион километров, но расстояние Луны от Земли еще меньше – 0,38 миллиона километров, т.е. Луна находится внутри сферы действия Земли относительно Солнца.
Радиус действия гравитационных полей, бесконечен. Сила притяжения между Солнцем и Луной, в 80 раз меньше, чем между Солнцем и Землей, так как они находятся практически на одинаковом расстоянии от Солнца, а масса Луны в 80 раз меньше. А так как расстояние от Луны до Солнца, в 400 больше, чем от Луны до Земли, то сила притяжения Луны к Земле в 160000 раз больше, чем к Солнцу... В полном согласии с законом всемирного тяготения старика Ньютона...

Интересно... Думаю, что многим это будет полезно!

В школьном учебнике была такая задача:

Во сколько раз сила притяжения Луны к Солнцу отличается от силы притяжения Луны к Земле?

Перед решением я нисколько не сомневалась, что притяжение Луны к Земле, конечно же, больше.  И была очень удивлена, что получилось "с точностью наоборот".

Спасибо, RMR astra за привлечение к такому действительно необычному вопросу. Возможно,   кто-то заинтересуется и проверит.

Большое спасибо за чудесную иллюстрацию!