Уравнение Д'Аламбера | Лаборатория космических исследований

Лаборатория космических исследований

Ульяновская секция Поволжского отделения Российской Академии Космонавтики им. К. Э. Циолковского

Ульяновский Государственный Университет

Уравнение Д'Аламбера

Опубликовано zhvictorm в вс, 18/04/2010 - 23:04

in

Статьи

$\frac{\partial \rho}{\partial x}=-\frac{\partial }{\partial t}(\rho u)$

$\frac{\partial \rho}{\partial y}=-\frac{\partial }{\partial t}(\rho v)$

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}(\rho u)+\frac{\partial }{\partial y}(\rho v)=-\rho^2(1-u^2-v^2)$

Делаем подстановку

$\rho=\frac{\partial }{\partial t}\phi$

Тогда получаем:

$\rho u=-\frac{\partial }{\partial x}\phi,~~~~\rho v=-\frac{\partial }{\partial y}\phi$

или

$u=-\frac{\phi_x}{\phi_t},~~~~v=-\frac{\phi_y}{\phi_t}$

Отсюда

$\left[\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right]\phi=-(\phi_t)^2\left(1-\left[\frac{\phi_x}{\phi_t}\right]^2-\left[\frac{\phi_y}{\phi_t}\right]^2\right)$

Сделаем подстановку:

$\phi=\ln \psi$

В результате уравнение принимает вид уравнения Д'Аламбера:

$\left[\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right]\psi=0$

Таким образом, полученное представление связывает как и в одномерном случае уравнение Д'Аламбера для функции $T$ и функции $\psi$ . Что и требовалось доказать. Надо указать теперь явную связь между этими функциями:

$\rho=-\frac{T_{xx}+T_{yy}}{T_t}=\phi_t=\frac{\partial \ln \psi}{\partial t}$

Связь не тривиальная!

Добавляю (19.04.10)! На самом деле в силу уравнения $T_{xx}+T_{yy}=T_{tt}$ имеем

$\rho=-\frac{T_{xx}+T_{yy}}{T_t}=\frac{T_{tt}}{T_t}=\phi_t=\frac{\partial \ln \psi}{\partial t}$

Отсюда $\ln T_t = \ln \psi$ или $T_t = \psi$ . А это уже почти тождественное преобразование. В одномерном случае все выглядит более сложно. Надо разобраться.

Надо еще постараться выяснить основные свойства гидродинамического потока, связанного с уравненим Д'Аламбера. Следует выписать уравнения для $u$ и $v$ .

(Прошу прощения за несколько непонятные выкладки. Это в основном предназначено для Илдуса Хасанова и Дмитрия Зиновьева в связи с подготовкой к конференции. Так удобней передавать информацию. Полный текст выкладок будет сделан позже с необходимыми разоблачениями)

zhvictorm's блог
Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы получить возможность отправлять комментарии
1037 просмотров

Опубликовано leon в пн, 19/04/2010 - 10:53.

Спасибо за выкладки, всё подтвердилось.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы получить возможность отправлять комментарии

Ульяновская секция Поволжского отделения Российской Академии Космонавтики им. К. Э. Циолковского

Академия космонавтики

Лаборатория

Проекты

CanSat в России

Кафедра Теор. Физики

Знание-Сила

Конференции

Сотрудники

Вход для пользователей

Наши партнеры

Наши Друзья

Снимки из Космоса

Последние обновления

Последние комментарии

Новые обсуждения форума