This research has made use of NASA's Astrophysics Data System

        Луна в своем движении вокруг Солнца совершает довольно сложные маневры, пересекая орбиту Земли. Можно подумать, что ее траектория напоминает синусоиду, наложенную на эллипс. Но тогда местами кривизна траектории становится положительной, т.е. выпуклой в сторону Солнца, что существенно нарушает баланс сил инерции и гравитации. 

Решение этого непростого вопроса я нашел в статье столетней давности 

Из закона сохранения момента импульса системы Земля Луна (без учета наклона оси вращения Земли)

$L=С\omega + \mu x^2 \Omega = const$

где $C$ - полярный момент инерции Земли, $\omega$ - угловая скорость вращения Земли, соответствующая звездным суткам, $\Omega$ - угловая скорость вращения системы Земля-Луна вокруг барицентра, $\mu$ - приведенная масса системы, $x$ - расстояние между центрами Земли и Луны

следует, что угловая скорость собственного вращения Земли зависит от расстояния между центрами Земли и Луны так:

Рис. 1.

       Земля может рассматриваться как симметричный тяжелый волчок, у которого «экваториальные» осевые моменты инерции равны.

Это позволит нам ввести очень удобную систему координат ONKz, подвижную, как в Земле, так и в инерциальном пространстве. Уравнения движения Земли под действием момента сил со стороны Луны в этой системе можно найти в работе [1].

               Ньютон находил задачу движения Луны настолько трудной, что, как он жаловался, она вызывала у него головную боль, лишала сна и он больше не мог о ней думать. Однако ему удалось показать, что известные неравенства в орбитальном движении Луны вызваны Солнцем. Кроме того, учитывая члены второго порядка, он вычислил движение перигея, отличающееся от наблюдаемого значения всего на 8%. [1]. Непросто вычислить и движение лунного узла. По крайней мере, мне не доводилось видеть простой формулы для  скорости прецессии лунного узла.

                Любой школьник знает, что период прецессии земной оси что-то около 26000 лет. Но как рассчитать данную величину? Здесь школьных знаний может не хватить. Известные мне работы достаточно сложны для понимания неспециалиста. Возьму на себя смелость утверждать, что мне удалось получить самый простой способ расчета периода лунно-солнечной прецессии.

        Мысли о влиянии приливного трения на наклон земной оси привели меня к задаче о движении симметричного тяжелого волчка при наличии возмущающих моментов. Уравнения движения волчка в случае Лагранжа решаются достаточно просто аналитически, а движения волчка хорошо известны – это прецессия и нутация оси вращения. Диссипативный момент, такой как трение, лишает нас возможности воспользоваться интегралами движения, поэтому уравнения движения волчка при наличии трения придется решать численно.

     Такой вывод можно сделать, проделав следующий простой расчет. Рассмотрим пару Земля – Луна в их обращении вокруг центра масс по строго круговым орбитам. Для решения задачи нам потребуется найти моменты сил, действующих на Землю со стороны Луны: главный момент, связанный с действием Луны на экваториальные вздутия Земли и вторичный момент, возникающий от действия Луны на приливные вздутия. Найдем главный момент (Рис.1.) 

     Рассмотрим две системы координат:  Oxyz – система, связанная с главными центральными осями инерции Земли, и OXYZ – орбитальная система координат. Связь  между этими системами осуществляется посредством матрицы поворота или матрицы направляющих косинусов $\boldsymbol{A}$.

Рис.1.

Как известно, Луна удаляется от Земли. Когда это началось, и как долго это будет происходить? И что будет потом? На эти вопросы нет однозначного ответа. Вращательная энергия Земли посредством приливного взаимодействия передается Луне, и та удаляется. Приливное трение «съедает» огромное количество механической энергии, поэтому полная механическая энергия системы Земля-Луна не сохраняется.  Однако, выполняется закон сохранения момента импульса. Он не чувствителен к диссипативным процессам!

  Данный пост представляет собой методическую зарисовку на тему дифференциальных уравнений движения материальной точки в полярной системе координат.

Рис. 1.

Как известно, движение материальной точки описывается векторным уравнением:

$m\boldsymbol{a}=\boldsymbol{F}$    (1)